Verilen bilgilere göre, ABC dik üçgeninde B açısı 90 derecedir. Ayrıca FE \(\perp\) AB ve GD \(\perp\) AC bilgileri verilmiştir.

• Benzer Üçgenleri Belirleme:

  • FE \(\perp\) AB ve AB \(\perp\) BC olduğundan, FE // BC'dir. Bu durumda, \(\triangle AFE\) ile \(\triangle ABC\) benzerdir (\(\angle A\) ortak, \(\angle AEF = \angle ABC = 90^\circ\)).
  • GD \(\perp\) AC ve \(\triangle ABC\) dik üçgen olduğundan, \(\triangle GDC\) ile \(\triangle ABC\) benzerdir (\(\angle C\) ortak, \(\angle GDC = 90^\circ\), \(\angle ABC = 90^\circ\)).

• Benzerlik Oranlarını Yazma:

  • \(\triangle AFE \sim \triangle ABC\) benzerliğinden:
    \[ \frac{|AE|}{|AB|} = \frac{|AF|}{|AC|} \] Verilenler: \(|AE| = 6\) cm ve \(|AF| = |GC|\). \(|GC|\) değerini \(x\) ile gösterelim. Yani \(|AF| = x\).
    \[ \frac{6}{|AB|} = \frac{x}{|AC|} \quad \Rightarrow \quad |AB| = \frac{6|AC|}{x} \quad \text{(Denklem 1)} \]
  • \(\triangle GDC \sim \triangle ABC\) benzerliğinden:
    \[ \frac{|CD|}{|BC|} = \frac{|GC|}{|AC|} \] Verilenler: \(|CD| = 4\) cm ve \(|GC| = x\).
    \[ \frac{4}{|BC|} = \frac{x}{|AC|} \quad \Rightarrow \quad |BC| = \frac{4|AC|}{x} \quad \text{(Denklem 2)} \]

• Pisagor Teoremini Uygulama:

  • \(\triangle ABC\) dik üçgeninde Pisagor Teoremi'ni uygulayalım:
    \[ |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2 \]
  • Denklem 1 ve Denklem 2'deki ifadeleri yerine koyalım:
    \[ \left(\frac{6|AC|}{x}\right)^2 + \left(\frac{4|AC|}{x}\right)^2 = |AC|^2 \]
    \[ \frac{36|AC|^2}{x^2} + \frac{16|AC|^2}{x^2} = |AC|^2 \]
  • Her iki tarafı \(|AC|^2\) ile bölelim (çünkü \(|AC| \neq 0\)):
    \[ \frac{36}{x^2} + \frac{16}{x^2} = 1 \]
    \[ \frac{36 + 16}{x^2} = 1 \]
    \[ \frac{52}{x^2} = 1 \]
    \[ x^2 = 52 \]
  • \(x\) değerini bulalım:
    \[ x = \sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13} \]

Buna göre, \(|GC| = x = 2\sqrt{13}\) cm'dir.

Cevap C seçeneğidir.