Verilen bilgilere göre, iki üçgenimiz var: \(\triangle ABE\) ve \(\triangle BCD\).
- \([BA] \perp [AE]\) olduğundan, \(\triangle ABE\) bir dik üçgendir ve \(m(\angle BAE) = 90^\circ\).
- \([CD] \perp [BE]\) olduğundan, \(\triangle BCD\) bir dik üçgendir ve \(m(\angle CDB) = 90^\circ\).
- \(m(\angle ABE) = m(\angle CBD)\) olduğu verilmiş. Bu açıya \(\alpha\) diyelim.
Şimdi bu iki dik üçgeni inceleyelim:
- \(\triangle ABE\)'de açılar: \(m(\angle BAE) = 90^\circ\), \(m(\angle ABE) = \alpha\). Dolayısıyla \(m(\angle AEB) = 180^\circ - 90^\circ - \alpha = 90^\circ - \alpha\).
- \(\triangle BCD\)'de açılar: \(m(\angle CDB) = 90^\circ\), \(m(\angle CBD) = \alpha\). Dolayısıyla \(m(\angle BCD) = 180^\circ - 90^\circ - \alpha = 90^\circ - \alpha\).
Açıları karşılaştırdığımızda:
- \(m(\angle BAE) = m(\angle CDB) = 90^\circ\)
- \(m(\angle ABE) = m(\angle CBD) = \alpha\)
- \(m(\angle AEB) = m(\angle BCD) = 90^\circ - \alpha\)
Bu durumda, Açı-Açı-Açı (AAA) benzerlik teoremine göre \(\triangle ABE\) ile \(\triangle DBC\) benzerdir (\(\triangle ABE \sim \triangle DBC\)).
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir:
\[ \frac{|AE|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|DB|} = \frac{|BE|}{|BC|} \]
Soruda verilen bilgilere göre:
- \(|AE| = |DC|\)
- \(|BC| = 12\) cm
- \(|DE| = 5\) cm
- \(|BD| = x\) cm
\(|AE| = |DC|\) olduğu için benzerlik oranı \(\frac{|AE|}{|DC|} = 1\) olur. Bu, üçgenlerin aslında eş olduğu anlamına gelir (\(\triangle ABE \cong \triangle DBC\)).
Eş üçgenlerin karşılıklı kenarları eşit olacağından:
- \(|AE| = |DC|\) (Verilmiş)
- \(|AB| = |DB|\)
- \(|BE| = |BC|\)
Son eşitliği kullanarak \(x\)'i bulabiliriz:
- \(|BE|\) uzunluğu, \(|BD| + |DE|\) olarak ifade edilebilir. Yani \(|BE| = x + 5\).
- \(|BC|\) uzunluğu \(12\) cm olarak verilmiş.
Bu durumda, \(|BE| = |BC|\) eşitliğini yerine yazarsak:
\[ x + 5 = 12 \]
Denklemi çözdüğümüzde:
\[ x = 12 - 5 \]
\[ x = 7 \]
Buna göre, \(|BD| = x = 7\) cm'dir.
Cevap D seçeneğidir.