Verilen geometri sorusunu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim.

• 1. Verilen Bilgileri ve Dik Açıları Belirleme:
  • Şekildeki diklik sembolleri ve verilen bilgilerden, aşağıdaki dik açılar mevcuttur:

  • \(\angle ABC = 90^\circ\)

    (çünkü \([AB] \perp [BC]\))

  • \(\angle DCB = 90^\circ\)

    (çünkü \([DC] \perp [BC]\))

  • \(\angle AEB = 90^\circ\)

    (çünkü \([AE] \perp [BD]\))
  • Verilen uzunluklar: \(|AB| = 7\) cm, \(|BE| = 2\) cm, \(|DC| = 2\) cm.
  • Aranan uzunluk: \(|ED| = x\) cm.
• 2. Açıları Atama ve Benzer Üçgenleri Bulma:

  • \(\triangle DBC\)

    bir dik üçgendir (\(\angle C = 90^\circ\)).

  • \(\angle BDC = \alpha\)

    diyelim.
  • Bu durumda,

    \(\triangle DBC\)

    içinde

    \(\angle DBC = 90^\circ - \alpha\)

    olur.
  • Şimdi

    \(\angle ABC = 90^\circ\)

    olduğunu biliyoruz.

  • \(\angle ABE = \angle ABC - \angle DBC = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha\)

    olur.
  • Şimdi

    \(\triangle ABE\)

    üçgenine bakalım. Bu da bir dik üçgendir (\(\angle AEB = 90^\circ\)).

  • \(\angle ABE = \alpha\)

    bulduk.
  • Bu durumda,

    \(\triangle ABE\)

    içinde

    \(\angle BAE = 90^\circ - \alpha\)

    olur.
  • Açıları özetlersek:

    • \(\triangle ABE\)

      üçgeninin açıları:

      \(\angle ABE = \alpha\)

      ,

      \(\angle BAE = 90^\circ - \alpha\)

      ,

      \(\angle AEB = 90^\circ\)

      .

    • \(\triangle BDC\)

      üçgeninin açıları:

      \(\angle BDC = \alpha\)

      ,

      \(\angle DBC = 90^\circ - \alpha\)

      ,

      \(\angle DCB = 90^\circ\)

      .
  • Görüldüğü üzere,

    \(\triangle ABE\)

    ve

    \(\triangle BDC\)

    üçgenleri benzerdir (Açı-Açı benzerliği).
  • Benzerlik sırası:

    \(\triangle ABE \sim \triangle BDC\)

    (Çünkü \(\angle ABE = \angle BDC = \alpha\), \(\angle BAE = \angle DBC = 90^\circ - \alpha\), \(\angle AEB = \angle DCB = 90^\circ\)).
• 3. Benzerlik Oranlarını Kullanarak x'i Bulma:
  • Benzer üçgenlerin kenar oranlarını yazalım:

  • \(\frac{|AB|}{|BD|} = \frac{|BE|}{|DC|} = \frac{|AE|}{|BC|}\)

  • Bize verilen uzunlukları ve aranan \(x\) değerini yerine koyalım:

  • \(|AB| = 7\)

  • \(|BE| = 2\)

  • \(|DC| = 2\)

  • \(|BD| = |BE| + |ED| = 2 + x\)

  • İlk iki oranı kullanarak denklemi kuralım:

  • \(\frac{|AB|}{|BD|} = \frac{|BE|}{|DC|}\)

  • \(\frac{7}{2 + x} = \frac{2}{2}\)

  • \(\frac{7}{2 + x} = 1\)

  • Denklemi çözelim:

  • \(7 = 2 + x\)

  • \(x = 7 - 2\)

  • \(x = 5\)

Buna göre, \(|ED| = x = 5\) cm'dir.

Cevap D seçeneğidir.