Sorunun Çözümü
- Kenarları belirle: $|AB| = 8$ cm, $|BC| = x$ cm. $|AD| = y$ cm, $|DC| = z$ cm olsun.
- Çevre denklemini yaz: ABCD dörtgeninin çevresi $22$ cm olduğundan, $8 + x + y + z = 22$. Buradan $y + z = 14 - x$ elde edilir.
- $\triangle ABC$ için Pisagor teoremini uygula: $\angle B = 90^\circ$ olduğundan, $AC^2 = AB^2 + BC^2$. $AC^2 = 8^2 + x^2 = 64 + x^2$.
- $\triangle ADC$ için Pisagor teoremini uygula: $\angle D = 90^\circ$ olduğundan, $AC^2 = AD^2 + DC^2$. $AC^2 = y^2 + z^2$.
- $AC^2$ ifadelerini eşitle: $64 + x^2 = y^2 + z^2$.
- $(y+z)^2$ özdeşliğini kullan: $(y+z)^2 = y^2 + z^2 + 2yz$ özdeşliğinde $y+z = 14-x$ ve $y^2+z^2 = 64+x^2$ değerlerini yerine koyarız. $(14-x)^2 = (64+x^2) + 2yz$. $196 - 28x + x^2 = 64 + x^2 + 2yz$. $132 - 28x = 2yz \implies yz = 66 - 14x$.
- $x$ değerini bul: $y+z = 14-x$ ve $yz = 66-14x$ denklemlerini sağlayan $y$ ve $z$ değerleri, $t^2 - (14-x)t + (66-14x) = 0$ denkleminin kökleridir. Seçeneklerden $x=3$ değerini deneyelim: $y+z = 14-3 = 11$. $yz = 66-14(3) = 66-42 = 24$. $t^2 - 11t + 24 = 0$ denklemini çözdüğümüzde $(t-3)(t-8) = 0$ bulunur. Yani $t_1=3$ cm ve $t_2=8$ cm. Bu durumda $|AD|$ ve $|DC|$ kenar uzunlukları $3$ cm ve $8$ cm olur. Çevre kontrolü: $8 + 3 + 3 + 8 = 22$ cm, bu verilen bilgiyle uyuşur. Pisagor kontrolü: $AC^2 = 8^2 + 3^2 = 64+9=73$. $AC^2 = 3^2 + 8^2 = 9+64=73$. Bu da uyuşur. Dolayısıyla $|BC|=x=3$ cm'dir.
- Doğru Seçenek A'dır.