Verilen problemi adım adım çözerek a . b çarpımını bulalım:

• Başlangıç Noktası:

  P noktasının koordinatları \(P(a, b)\) olarak verilmiştir.

• Dönme İşlemi:

  P noktası orijin etrafında saat yönünün tersine \(90^\circ\) döndürüldüğünde, yeni noktanın koordinatları \((x, y) \to (-y, x)\) kuralına göre değişir.

  Bu durumda, \(P(a, b)\) noktası \(P'(-b, a)\) noktasına dönüşür.

• Öteleme İşlemi:

  Elde edilen \(P'(-b, a)\) noktası, x ekseni boyunca pozitif yönde 7 birim ve y ekseni boyunca negatif yönde 3 birim öteleniyor.

  Öteleme kuralı \((x, y) \to (x+dx, y+dy)\) şeklindedir.

  Bu durumda, \(P'(-b, a)\) noktası \(P''(-b+7, a-3)\) noktasına dönüşür.

• Sonuç Eşitliği:

  Soruda, bu işlemler sonucunda yine \(P(a, b)\) noktasının elde edildiği belirtiliyor. Yani, \(P''(a, b)\) noktası ile \(P(a, b)\) noktası aynıdır.

  Koordinatları eşitleyelim:

  \(-b + 7 = a \quad \text{(Denklem 1)}\)

  \(a - 3 = b \quad \text{(Denklem 2)}\)

• Denklem Sistemini Çözme:

  Denklem 2'den \(a\)'yı yalnız bırakalım:

  \(a = b + 3\)

  Bu ifadeyi Denklem 1'de yerine yazalım:

  \(-b + 7 = (b + 3)\)

  \(-b + 7 = b + 3\)

  \(7 - 3 = b + b\)

  \(4 = 2b\)

  \(b = 2\)

  \(b\) değerini \(a = b + 3\) denkleminde yerine yazalım:

  \(a = 2 + 3\)

  \(a = 5\)

• İstenen Çarpımı Bulma:

  Bizden \(a \cdot b\) çarpımı isteniyor.

  \(a \cdot b = 5 \cdot 2 = 10\)

Cevap E seçeneğidir.