Verilen üçgen ve açı bilgilerini adım adım kullanarak $x$ değerini bulalım:

• 1. $\triangle AEC$ üçgenini inceleyelim:

  Verilenlere göre $m(\widehat{ACB}) = 60^\circ$ ve $|AC| = |EC|$'dir. Bir ikizkenar üçgende tepe açısı $60^\circ$ ise, bu üçgen eşkenar üçgendir. Bu durumda:

  • $m(\widehat{CAE}) = m(\widehat{AEC}) = 60^\circ$
  • $|AC| = |EC| = |AE|$
• 2. E noktasındaki açıları inceleyelim:

  B, E, C noktaları doğrusal olduğu için $m(\widehat{AEB}) + m(\widehat{AEC}) = 180^\circ$ olmalıdır. $m(\widehat{AEC}) = 60^\circ$ olduğundan:

  • $m(\widehat{AEB}) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$
• 3. $\triangle BDE$ üçgenini inceleyelim:

  Verilenlere göre $|DE| = |BE|$'dir. Bu bir ikizkenar üçgendir. Taban açıları eşittir:

  • $m(\widehat{BDE}) = m(\widehat{DBE}) = x$
  • Üçgenin iç açıları toplamından $m(\widehat{DEB}) = 180^\circ - (x+x) = 180^\circ - 2x$
• 4. $\triangle ADE$ üçgenini inceleyelim:

  Verilenlere göre $|AD| = |DE|$'dir. Bu da bir ikizkenar üçgendir. Taban açıları eşittir. $m(\widehat{DAE}) = m(\widehat{DEA})$ olsun. Bu açılara $\beta$ diyelim:

  • $m(\widehat{DAE}) = m(\widehat{DEA}) = \beta$
  • Üçgenin iç açıları toplamından $m(\widehat{ADE}) = 180^\circ - (\beta+\beta) = 180^\circ - 2\beta$
• 5. E noktasındaki açıları birleştirelim:

  $m(\widehat{AEB})$ açısı, $m(\widehat{AED})$ ve $m(\widehat{DEB})$ açılarının toplamıdır:

  • $m(\widehat{AEB}) = m(\widehat{AED}) + m(\widehat{DEB})$
  • $120^\circ = \beta + (180^\circ - 2x)$
  • $120^\circ = \beta + 180^\circ - 2x$
  • $2x - \beta = 180^\circ - 120^\circ$
  • $2x - \beta = 60^\circ$ (Denklem 1)
• 6. D noktasındaki açıları birleştirelim:

  A, D, B noktaları doğrusal olduğu için $m(\widehat{ADE})$ ve $m(\widehat{BDE})$ açıları bütünler açılardır (toplamları $180^\circ$):

  • $m(\widehat{ADE}) + m(\widehat{BDE}) = 180^\circ$
  • $(180^\circ - 2\beta) + x = 180^\circ$
  • $-2\beta + x = 0$
  • $x = 2\beta$ (Denklem 2)
• 7. Denklem sistemini çözelim:

  Denklem 2'yi ( $x = 2\beta$ ) Denklem 1'de yerine koyalım:

  • $2(2\beta) - \beta = 60^\circ$
  • $4\beta - \beta = 60^\circ$
  • $3\beta = 60^\circ$
  • $\beta = 20^\circ$

  Şimdi $\beta$ değerini Denklem 2'de yerine koyarak $x$'i bulalım:

  • $x = 2\beta = 2(20^\circ) = 40^\circ$

Buna göre, $m(\widehat{BDE}) = x = 40^\circ$ bulunur.

Cevap E seçeneğidir.