Verilen bilgilere göre, $ABC$ bir eşkenar üçgendir. Bu durumda:

• Tüm kenar uzunlukları eşittir: $|AB| = |BC| = |CA|$.
• Tüm iç açıları $60^\circ$ derecedir: $m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{BCA}) = m(\widehat{BAC}) = 60^\circ$.

Şimdi $\triangle ABD$ ve $\triangle BCE$ üçgenlerini inceleyelim:

• Kenar: $|AB| = |BC|$ (Eşkenar üçgenin kenarları).
• Açı: $m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{EBC}) = 10^\circ$ (Soruda verilmiştir).
• Kenar: $|AD| = |BE|$ (Soruda verilmiştir).

Bu üçgenlerde Kenar-Kenar-Açı (KKA) durumu mevcuttur. KKA eşliği her zaman geçerli olmasa da, Kosinüs Teoremi kullanarak üçüncü kenarların eşitliğini gösterebiliriz:

$\triangle ABD$ üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulandığında:

$$|BD|^2 = |AB|^2 + |AD|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |AD| \cdot \cos(m(\widehat{BAD}))$$

$$|BD|^2 = |AB|^2 + |AD|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |AD| \cdot \cos(10^\circ)$$

$\triangle BCE$ üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulandığında:

$$|CE|^2 = |BC|^2 + |BE|^2 - 2 \cdot |BC| \cdot |BE| \cdot \cos(m(\widehat{EBC}))$$

$$|CE|^2 = |BC|^2 + |BE|^2 - 2 \cdot |BC| \cdot |BE| \cdot \cos(10^\circ)$$

Yukarıdaki denklemlerde $|AB| = |BC|$ ve $|AD| = |BE|$ olduğu için, $|BD|^2 = |CE|^2$ sonucuna ulaşırız. Bu da $|BD| = |CE|$ demektir.

Artık $\triangle ABD$ ve $\triangle BCE$ üçgenlerinin tüm kenarları eşittir:

• $|AB| = |BC|$
• $|AD| = |BE|$
• $|BD| = |CE|$

Bu durumda, Kenar-Kenar-Kenar (KKK) eşlik kuralına göre $\triangle ABD \cong \triangle BCE$ (ABD üçgeni BCE üçgenine eştir).

Üçgenler eş olduğundan, karşılıklı açıları da eşittir:

• $m(\widehat{ADB}) = m(\widehat{BEC})$
• $m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{BCE})$

Soruda $m(\widehat{BEC}) = 145^\circ$ olarak verilmiştir. Bu durumda $m(\widehat{ADB}) = 145^\circ$ olur.

Şimdi $\triangle ABD$ üçgeninin iç açıları toplamını kullanalım:

$$m(\widehat{BAD}) + m(\widehat{ABD}) + m(\widehat{ADB}) = 180^\circ$$

$$10^\circ + m(\widehat{ABD}) + 145^\circ = 180^\circ$$

$$m(\widehat{ABD}) + 155^\circ = 180^\circ$$

$$m(\widehat{ABD}) = 180^\circ - 155^\circ = 25^\circ$$

$ABC$ eşkenar üçgen olduğu için $m(\widehat{ABC}) = 60^\circ$ olduğunu biliyoruz. Şekildeki açılara göre $m(\widehat{ABC})$ açısı, $m(\widehat{ABD})$, $m(\widehat{DBE})$ ve $m(\widehat{EBC})$ açılarının toplamına eşittir:

$$m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ABD}) + m(\widehat{DBE}) + m(\widehat{EBC})$$

Verilen ve bulduğumuz değerleri yerine yazalım:

$$60^\circ = 25^\circ + x + 10^\circ$$

$$60^\circ = 35^\circ + x$$

$$x = 60^\circ - 35^\circ$$

$$x = 25^\circ$$

Cevap C seçeneğidir.