Verilen soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• Açıları Tanımlama:
  • Soruda verilen bilgilere göre, BG ışını $\angle ABC$ açısının açıortayıdır. Yani, $m(\widehat{ABG}) = m(\widehat{CBG})$. Bu açıları $\alpha$ ile gösterelim: $m(\widehat{ABG}) = m(\widehat{CBG}) = \alpha$. Buna göre, $\angle ABC$ açısının ölçüsü $m(\widehat{ABC}) = \alpha + \alpha = 2\alpha$ olur.
  • Benzer şekilde, DH ışını $\angle CDE$ açısının açıortayıdır. Yani, $m(\widehat{CDH}) = m(\widehat{EDH})$. Bu açıları $\beta$ ile gösterelim: $m(\widehat{CDH}) = m(\widehat{EDH}) = \beta$. Buna göre, $\angle CDE$ açısının ölçüsü $m(\widehat{CDE}) = \beta + \beta = 2\beta$ olur.
  • Bizden istenen $m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{CDE})$ toplamı, yani $2\alpha + 2\beta = 2(\alpha + \beta)$ değeridir.
• Paralel Doğrular ve İç Ters Açılar:
  • Verilen bilgiye göre, $BA \parallel DE$.
  • BG ışınını uzatarak DE doğrusunu P noktasında kestiğini varsayalım. $BA \parallel DE$ olduğundan ve BG bir kesen olduğundan, iç ters açılar eşittir: $m(\widehat{ABG}) = m(\widehat{BPF}) = \alpha$. (Burada P, BG'nin DE ile kesiştiği nokta ve F, G, B noktaları aynı doğru üzerinde olduğundan $\angle BPF$ yerine $\angle FPE$ de diyebiliriz, P noktası DE üzerindedir.)
  • DH ışınını uzatarak BA doğrusunu Q noktasında kestiğini varsayalım. $BA \parallel DE$ olduğundan ve DH bir kesen olduğundan, iç ters açılar eşittir: $m(\widehat{EDH}) = m(\widehat{DQF}) = \beta$. (Burada Q, DH'nin BA ile kesiştiği nokta ve F, H, D noktaları aynı doğru üzerinde olduğundan $\angle DQF$ yerine $\angle FQB$ de diyebiliriz, Q noktası BA üzerindedir.)
• Üçgenin İç Açıları Toplamı:
  • BG ve DH ışınları F noktasında kesişmektedir. Q, B, A noktaları ve P, D, E noktaları doğrusal olduğundan, QFP üçgenini oluşturabiliriz.
  • Bu QFP üçgeninin iç açıları şunlardır:
    • $m(\widehat{QFP}) = m(\widehat{GFH}) = 60^\circ$ (verilmiştir).
    • $m(\widehat{FPQ}) = \alpha$ (önceki adımdan).
    • $m(\widehat{FQP}) = \beta$ (önceki adımdan).
  • Bir üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$ olduğundan: $$m(\widehat{QFP}) + m(\widehat{FPQ}) + m(\widehat{FQP}) = 180^\circ$$ $$60^\circ + \alpha + \beta = 180^\circ$$ $$\alpha + \beta = 180^\circ - 60^\circ$$ $$\alpha + \beta = 120^\circ$$
• İstenen Toplamı Hesaplama:
  • Bizden istenen $m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{CDE})$ toplamıydı, bu da $2(\alpha + \beta)$ idi.
  • Bulduğumuz $\alpha + \beta = 120^\circ$ değerini yerine koyarsak: $$m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{CDE}) = 2(120^\circ) = 240^\circ$$

Cevap E seçeneğidir.