Şekildeki en uzun kenarı bulmak için her bir üçgendeki açı-kenar bağıntılarını inceleyelim.

• Üçgen ABC için:
  • Verilen \(m(\widehat{ABC}) = 120^\circ\).
  • Bir üçgende en büyük açının karşısındaki kenar en uzundur. \(120^\circ\) bir geniş açı olduğundan, \(\widehat{ABC}\) açısı \(\triangle ABC\)'deki en büyük açıdır.
  • Bu açının karşısındaki kenar [AC] olduğundan, \(\triangle ABC\)'de [AC] en uzun kenardır. Yani, AC > AB ve AC > BC.
• Üçgen ACD için:
  • Verilen \(m(\widehat{ACD}) = 60^\circ\) ve \(m(\widehat{ADC}) = 55^\circ\).
  • Üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\) olduğundan, \(m(\widehat{CAD}) = 180^\circ - (60^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ\).
  • Şimdi \(\triangle ACD\)'deki açıları karşılaştıralım: \(m(\widehat{CAD}) = 65^\circ\), \(m(\widehat{ACD}) = 60^\circ\), \(m(\widehat{ADC}) = 55^\circ\).
  • En büyük açı \(m(\widehat{CAD}) = 65^\circ\)'dir. Bu açının karşısındaki kenar [CD] olduğundan, \(\triangle ACD\)'de [CD] en uzun kenardır. Yani, CD > AC ve CD > AD.
• Üçgen ADE için:
  • Verilen \(AE \perp ED\), bu da \(m(\widehat{AED}) = 90^\circ\) demektir.
  • Bir dik üçgende en uzun kenar hipotenüstür (90 derecenin karşısındaki kenar).
  • \(\widehat{AED}\) açısının karşısındaki kenar [AD] olduğundan, \(\triangle ADE\)'de [AD] en uzun kenardır. Yani, AD > AE ve AD > ED.

Şimdi bulduğumuz sonuçları birleştirelim:

• \(\triangle ABC\)'den: AC > AB
• \(\triangle ACD\)'den: CD > AC ve CD > AD
• \(\triangle ADE\)'den: AD > AE

Bu eşitsizlikleri bir araya getirdiğimizde:

CD > AC (ACD üçgeninden)

AC > AB (ABC üçgeninden)

CD > AD (ACD üçgeninden)

AD > AE (ADE üçgeninden)

Bu durumda, [CD] kenarı hem [AC]'den, hem [AD]'den, hem [AB]'den hem de [AE]'den daha uzundur. Dolayısıyla, şekil üzerindeki en uzun kenar [CD]'dir.

Cevap C seçeneğidir.