Sorunun Çözümü
- Üçgen eşitsizliğine göre, her kenar uzunluğu pozitif olmalıdır:
- $3x - 1 > 0 \implies 3x > 1 \implies x > 1/3$
- $x + 4 > 0 \implies x > -4$
- Üçgen eşitsizliğine göre, herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır:
- $(3x - 1) + (x + 4) > 6 \implies 4x + 3 > 6 \implies 4x > 3 \implies x > 3/4$
- $(3x - 1) + 6 > x + 4 \implies 3x + 5 > x + 4 \implies 2x > -1 \implies x > -1/2$
- $(x + 4) + 6 > 3x - 1 \implies x + 10 > 3x - 1 \implies 11 > 2x \implies x < 11/2$
- Açı-kenar ilişkisine göre, büyük açı karşısında büyük kenar bulunur. $m(\hat{B}) < m(\hat{C})$ verildiğinden, $\hat{B}$'nin karşısındaki kenar $|AC|$, $\hat{C}$'nin karşısındaki kenar $|AB|$'den küçük olmalıdır:
- $|AC| < |AB| \implies x + 4 < 3x - 1 \implies 5 < 2x \implies x > 5/2$
- Tüm eşitsizlikleri birleştirirsek:
- $x > 1/3$
- $x > -4$
- $x > 3/4$
- $x > -1/2$
- $x < 11/2$
- $x > 5/2$
- Bu eşitsizliklerin kesişimi $5/2 < x < 11/2$ aralığını verir. Yani $2.5 < x < 5.5$.
- x'in alabileceği tam sayı değerleri $3, 4, 5$'tir.
- Bu tam sayı değerlerinin toplamı $3 + 4 + 5 = 12$'dir.
- Doğru Seçenek D'dır.