Sorunun Çözümü
- $\triangle ABD$ ikizkenar üçgen olduğundan $|AB| = |AD| = a$ diyelim.
- $\triangle ABD$'de Kosinüs Teoremi uygulayalım: $|AB|^2 = |AD|^2 + |BD|^2 - 2|AD||BD|\cos(\angle ADB)$.
- $a^2 = a^2 + 6^2 - 2(a)(6)\cos(\angle ADB) \Rightarrow 0 = 36 - 12a\cos(\angle ADB) \Rightarrow a\cos(\angle ADB) = 3$.
- $\angle ADB$ ve $\angle ADC$ bütünler açılar olduğundan $\cos(\angle ADC) = -\cos(\angle ADB)$'dir.
- $\triangle ADC$'de Kosinüs Teoremi uygulayalım: $|AC|^2 = |AD|^2 + |DC|^2 - 2|AD||DC|\cos(\angle ADC)$.
- $x^2 = a^2 + 7^2 - 2(a)(7)(-\cos(\angle ADB)) \Rightarrow x^2 = a^2 + 49 + 14a\cos(\angle ADB)$.
- $a\cos(\angle ADB) = 3$ değerini yerine yazalım: $x^2 = a^2 + 49 + 14(3) \Rightarrow x^2 = a^2 + 49 + 42 \Rightarrow x^2 = a^2 + 91$.
- $\triangle ABD$'de üçgen eşitsizliğinden $|AB| + |AD| > |BD|$ yani $a + a > 6 \Rightarrow 2a > 6 \Rightarrow a > 3$ olmalıdır.
- $a > 3$ olduğundan $a^2 > 3^2 \Rightarrow a^2 > 9$'dur.
- $x^2 = a^2 + 91$ ifadesinde $a^2 > 9$ eşitsizliğini kullanalım: $x^2 > 9 + 91 \Rightarrow x^2 > 100$.
- $x$ bir uzunluk olduğundan pozitif olmalıdır. $x > \sqrt{100} \Rightarrow x > 10$.
- $x$'in alabileceği en küçük tam sayı değeri $11$'dir.
- Doğru Seçenek D'dır.