Sorunun Çözümü
- Üçgenin kenar uzunlukları $a, b, c$ olsun. Çevresi $a+b+c = 24$ birimdir.
- En kısa kenar $a$ olsun. Üçgen çeşitkenar olduğu için kenarlar farklı uzunlukta olmalıdır: $a < b < c$.
- Üçgen eşitsizliğine göre, herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır. En kritik eşitsizlik $a+b > c$'dir.
- $c = 24 - a - b$ ifadesini $a+b > c$ eşitsizliğinde yerine koyarsak: $a+b > 24 - a - b \implies 2a + 2b > 24 \implies a+b > 12$.
- Ayrıca, $b < c$ koşulunu kullanırsak: $b < 24 - a - b \implies 2b < 24 - a \implies b < 12 - a/2$.
- $a < b$ olduğu için, $a < 12 - a/2$ olmalıdır.
- Bu eşitsizliği çözersek: $a + a/2 < 12 \implies 3a/2 < 12 \implies 3a < 24 \implies a < 8$.
- $a$ bir tam sayı olduğundan ve $a < 8$ olduğundan, $a$'nın alabileceği en büyük tam sayı değeri $7$'dir.
- $a=7$ için bir çeşitkenar üçgen oluşturup oluşturamayacağımızı kontrol edelim:
- $a+b > 12 \implies 7+b > 12 \implies b > 5$.
- $b < 12 - a/2 \implies b < 12 - 7/2 \implies b < 12 - 3.5 \implies b < 8.5$.
- $a < b$ koşulu $7 < b$ olmasını gerektirir.
- Bu koşulları birleştirince $7 < b < 8.5$ elde ederiz. $b$ tam sayı olduğu için $b=8$ olabilir.
- Eğer $a=7$ ve $b=8$ ise, $c = 24 - 7 - 8 = 9$ olur.
- Kenarlar $7, 8, 9$ birimdir. Bu kenarlar farklıdır ($7 < 8 < 9$) ve üçgen eşitsizliklerini sağlar ($7+8 > 9$, $7+9 > 8$, $8+9 > 7$).
- Tüm koşullar sağlandığı için, en kısa kenarın en büyük tam sayı değeri $7$'dir.
- Doğru Seçenek B'dır.