Sorunun Çözümü
- Verilen bilgilere göre, $|AB| = 7 cm$ ve $|PC| = 4 cm$'dir. $|BP| = y$ ve $|AC| = x$ olarak adlandıralım. Bizden $|BP| - |AC|$ farkının yani $y - x$ farkının alabileceği en büyük tam sayı değeri istenmektedir.
- $\triangle ABP$ üçgeninde üçgen eşitsizliğini uygulayalım. Bir üçgende iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyüktür. P noktası üçgenin içinde olduğundan, P, AB kenarı üzerinde değildir, bu yüzden eşitsizlik kesinlikle küçüktür: $|BP| < |AB| + |AP|$ $y < 7 + |AP|$
- $\triangle APC$ üçgeninde üçgen eşitsizliğini uygulayalım. P noktası üçgenin içinde olduğundan, P, AC kenarı üzerinde değildir, bu yüzden eşitsizlik kesinlikle küçüktür: $|AC| < |AP| + |PC|$ $x < |AP| + 4$
- İkinci eşitsizlikten $|AP|$ için bir alt sınır elde edelim: $|AP| > x - 4$
- Bu $|AP|$ alt sınırını ilk eşitsizlikte yerine koyalım: $y < 7 + |AP|$ $y < 7 + (x - 4)$ $y < x + 3$
- Eşitsizliği yeniden düzenleyerek $y - x$ ifadesini elde edelim: $y - x < 3$
- P noktası üçgenin içinde bir nokta olduğundan, $|AP|$ uzunluğu kesinlikle $0$'dan büyüktür. Bu durum, kullandığımız üçgen eşitsizliklerinin kesinlikle "küçüktür" olmasını sağlar ve dolayısıyla $y - x < 3$ eşitsizliği de kesindir.
- $y - x$ farkının $3$'ten küçük olması gerektiğinden, alabileceği en büyük tam sayı değeri $2$'dir.
- Doğru Seçenek B'dır.