Verilen bilgilere göre, ABC bir üçgendir ve D noktası BC kenarının orta noktasıdır (|BD| = |DC|). Bu durumda AD doğru parçası, BC kenarına ait bir kenarortaydır. |AB| = 8 cm ve |AC| = 10 cm olarak verilmiştir. |AD| = x olarak tanımlanmıştır ve x'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı istenmektedir.

Bu tür bir problemde kenarortayın alabileceği değer aralığını bulmak için genellikle kenarortayı uzatarak bir paralelkenar oluşturma yöntemi kullanılır.

1. Yardımcı Çizim ve Paralelkenar Oluşturma:

   AD kenarortayını, D noktasından E noktasına kadar kendi boyu kadar uzatalım. Yani |AD| = |DE| olacak şekilde bir E noktası belirleyelim. Bu durumda ABEC dörtgeni bir paralelkenar olur. (Çünkü köşegenler birbirini ortalar).

2. Paralelkenar Özelliklerini Kullanma:

   ABEC bir paralelkenar olduğu için karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir:

   • |AC| = |BE| = 10 cm
   • |AB| = |CE| = 8 cm
   • |AE| = |AD| + |DE| = x + x = 2x cm
3. Üçgen Eşitsizliğini Uygulama:

   Şimdi ABE üçgenini ele alalım. Bu üçgenin kenar uzunlukları |AB|=8 cm, |BE|=10 cm ve |AE|=2x cm'dir. Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyüktür (Üçgen Eşitsizliği).

   Buna göre, ABE üçgeninde:

   $| |AB| - |BE| | < |AE| < |AB| + |BE| $

   $| 8 - 10 | < 2x < 8 + 10 $

   $| -2 | < 2x < 18 $

   $2 < 2x < 18 $

4. x'in Değer Aralığını Bulma:

   Eşitsizliğin her tarafını 2'ye böldüğümüzde, x'in alabileceği değer aralığını buluruz:

   $1 < x < 9 $

5. x'in Alabileceği Tam Sayı Değerleri ve Toplamı:

   x'in alabileceği tam sayı değerleri 1 ile 9 arasında olmalıdır. Bu değerler şunlardır:

   2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

   Bu tam sayı değerlerinin toplamı:

   $2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 35 $

Cevap E seçeneğidir.