Sorunun Çözümü
- Üçgen BDC'nin Özelliği: $|BE| = |EC|$ ve $DE \perp BC$ olduğundan, $\triangle BDC$ bir ikizkenar üçgendir. Bu durumda $|BD| = |DC|$'dir.
- BD Uzunluğu: Verilen $|DC| = 5$ birim olduğundan, $|BD| = 5$ birim olur.
- AC Uzunluğu: $|AC| = |AD| + |DC| = 2 + 5 = 7$ birimdir.
- Üçgen ABD İçin Üçgen Eşitsizliği: $\triangle ABD$'nin kenarları $x$, $2$ ve $5$'tir. Üçgen eşitsizliğine göre, $|5-2| < x < 5+2 \implies 3 < x < 7$ olmalıdır.
- Açı Koşulu ve EC Uzunluğu: $m(\widehat{ACB}) > 45^\circ$ ve $\triangle DEC$ dik üçgen olduğundan, $EC < DE$ olmalıdır. Pisagor teoreminden $DE^2 + EC^2 = DC^2 = 5^2 = 25$. $EC < DE$ olduğu için $EC^2 < DE^2$. Bu durumda $2EC^2 < DE^2 + EC^2 = 25 \implies EC^2 < 12.5$.
- Kosinüs Teoremi ve x Değeri: $\triangle ABC$'de Kosinüs Teoremi uygulandığında: $x^2 = |AC|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |BC| \cdot \cos(\widehat{ACB})$. $|BC| = 2|EC|$ ve $\cos(\widehat{ACB}) = \frac{|EC|}{|DC|} = \frac{|EC|}{5}$ olduğundan: $x^2 = 7^2 + (2|EC|)^2 - 2 \cdot 7 \cdot (2|EC|) \cdot \frac{|EC|}{5}$ $x^2 = 49 + 4|EC|^2 - \frac{28}{5}|EC|^2$ $x^2 = 49 - \frac{8}{5}|EC|^2$.
- x İçin Alt Sınır: $EC^2 < 12.5$ eşitsizliğini kullanarak: $\frac{8}{5}|EC|^2 < \frac{8}{5} \cdot 12.5 = 20$. Bu durumda $x^2 = 49 - \frac{8}{5}|EC|^2 > 49 - 20 = 29$. Yani $x^2 > 29 \implies x > \sqrt{29} \approx 5.38$.
- x İçin Aralık: Önceki adımlardan $3 < x < 7$ ve $x > \sqrt{29}$ elde edildi. Bu iki eşitsizliği birleştirirsek $\sqrt{29} < x < 7$ yani yaklaşık olarak $5.38 < x < 7$ bulunur.
- Seçeneklerin Kontrolü: Verilen seçenekler arasında bu aralığa uyan tek değer $6$'dır.
- Doğru Seçenek C'dır.