Sorunun Çözümü
- Üçgenin kenar uzunlukları $a, b, c$ birer tam sayı olsun. Çevre uzunluğu $a+b+c = 12 cm$'dir.
- Üçgen eşitsizliğine göre, herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır. Yani $a+b>c$, $a+c>b$, $b+c>a$.
- Kenarları sıralayarak tekrar eden durumları engellemek için $a \le b \le c$ kabul edelim. Bu durumda en kısıtlayıcı eşitsizlik $a+b>c$ olur.
- $a+b+c=12$ olduğundan, $a+b = 12-c$ yazabiliriz. Bu ifadeyi eşitsizlikte yerine koyarsak: $12-c > c \Rightarrow 12 > 2c \Rightarrow c < 6$.
- Ayrıca, $a \le b \le c$ ve $a+b+c=12$ olduğundan, $3c \ge a+b+c \Rightarrow 3c \ge 12 \Rightarrow c \ge 4$.
- Bu durumda $c$ için olası tam sayı değerleri $4$ veya $5$'tir.
- Durum 1: $c=5$ ise, $a+b+5=12 \Rightarrow a+b=7$. Koşullar $a \le b \le 5$ ve $a+b>c \Rightarrow 7>5$ (sağlanır).
- Eğer $a=2$ ise $b=5$. Bu durumda kenarlar $(2, 5, 5)$ olur. ($2 \le 5 \le 5$ koşulunu sağlar)
- Eğer $a=3$ ise $b=4$. Bu durumda kenarlar $(3, 4, 5)$ olur. ($3 \le 4 \le 5$ koşulunu sağlar)
- Durum 2: $c=4$ ise, $a+b+4=12 \Rightarrow a+b=8$. Koşullar $a \le b \le 4$ ve $a+b>c \Rightarrow 8>4$ (sağlanır).
- Eğer $a=4$ ise $b=4$. Bu durumda kenarlar $(4, 4, 4)$ olur. ($4 \le 4 \le 4$ koşulunu sağlar)
- Yukarıdaki durumları sağlayan farklı üçgenler $(2, 5, 5)$, $(3, 4, 5)$ ve $(4, 4, 4)$ olmak üzere 3 tanedir.
- Doğru Seçenek C'dır.