Sorunun Çözümü
- Üçgenin kenar uzunlukları $a, b, c$ olsun. Çevre $11 cm$ olarak verilmiştir, yani $a+b+c=11$.
- Kenarların uzunlukları farklı tam sayılar olmalıdır. Yani $a, b, c \in \mathbb{Z}^+$ ve $a \neq b$, $b \neq c$, $a \neq c$.
- Üçgen eşitsizliği gereği, herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır. En uzun kenar $c$ olmak üzere, $a+b > c$ olmalıdır.
- $a+b+c=11$ olduğundan, $a+b=11-c$. Bu ifadeyi üçgen eşitsizliğinde yerine koyarsak $11-c > c \implies 11 > 2c \implies c < 5.5$.
- Kenarlar farklı tam sayılar olduğu için, $a \ge 1$, $b \ge 2$, $c \ge 3$ (sıralama varsayımıyla $a < b < c$).
- $c < 5.5$ ve $c \ge 3$ olduğundan, $c$ için olası değerler $3, 4, 5$'tir.
- Durum 1: $c=5$ ise, $a+b+5=11 \implies a+b=6$.
- $a < b < c$ koşulunu sağlamalıyız, yani $a < b < 5$.
- $a+b=6$ ve $a < b < 5$ koşullarını sağlayan tek tam sayı çifti $(a,b)=(2,4)$'tür. ($a=1 \implies b=5$, ama $b<5$ olmalı).
- Kenarlar $(2, 4, 5)$ olur. Bunlar farklı tam sayılardır.
- Üçgen eşitsizliğini kontrol edelim: $2+4 > 5 \implies 6 > 5$ (doğru). Diğer eşitsizlikler de sağlanır ($2+5>4$, $4+5>2$).
- Bu durumda bir adet çeşitkenar üçgen $(2,4,5)$ bulunmuştur.
- Durum 2: $c=4$ ise, $a+b+4=11 \implies a+b=7$.
- $a < b < c$ koşulunu sağlamalıyız, yani $a < b < 4$.
- $a+b=7$ ve $a < b < 4$ koşullarını sağlayan hiçbir tam sayı çifti yoktur. ($a=1 \implies b=6$, $a=2 \implies b=5$, $a=3 \implies b=4$; hiçbiri $b<4$ koşulunu sağlamaz).
- Durum 3: $c=3$ ise, $a+b+3=11 \implies a+b=8$.
- $a < b < c$ koşulunu sağlamalıyız, yani $a < b < 3$.
- $a+b=8$ ve $a < b < 3$ koşullarını sağlayan hiçbir tam sayı çifti yoktur. ($a=1 \implies b=7$, $a=2 \implies b=6$; hiçbiri $b<3$ koşulunu sağlamaz).
- Bu koşulları sağlayan sadece bir adet çeşitkenar üçgen $(2, 4, 5)$ vardır.
- Doğru Seçenek B'dır.