Verilen bilgilere göre, $\triangle ABC$ bir üçgendir ve $|AC| = |BC|$ olduğu belirtilmiştir. Bu durum, $\triangle ABC$'nin bir ikizkenar üçgen olduğunu ve taban açılarının eşit olduğunu gösterir: $m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{ABC})$. Bu açılara $\alpha$ diyelim.

• 1. $\alpha$ açısının aralığını belirleyelim:

  Bir üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$ olduğundan, $m(\widehat{ACB}) = 180^\circ - 2\alpha$.

  Şekildeki açılar kullanılarak $m(\widehat{DCE})$ açısı hesaplanabilir:

  $$m(\widehat{DCE}) = m(\widehat{ACB}) - m(\widehat{ACD}) - m(\widehat{BCE})$$

  $$m(\widehat{DCE}) = (180^\circ - 2\alpha) - 20^\circ - 15^\circ$$

  $$m(\widehat{DCE}) = 145^\circ - 2\alpha$$

  Bir üçgenin açısı pozitif olmak zorunda olduğundan, $m(\widehat{DCE}) > 0$ olmalıdır:

  $$145^\circ - 2\alpha > 0 \implies 2\alpha < 145^\circ \implies \alpha < 72.5^\circ$$

  Ayrıca, $\alpha$ bir üçgen açısı olduğu için $\alpha > 0^\circ$ olmalıdır. Dolayısıyla, $\alpha \in (0^\circ, 72.5^\circ)$ aralığındadır.

• 2. $|DC|$ ve $|EC|$ uzunluklarını Sinüs Teoremi ile ifade edelim:

  $\triangle ADC$ için Sinüs Teoremi:

  $m(\widehat{DAC}) = \alpha$ ve $m(\widehat{ACD}) = 20^\circ$ olduğundan, $m(\widehat{ADC}) = 180^\circ - (\alpha + 20^\circ)$.

  $$\frac{|DC|}{\sin(\alpha)} = \frac{|AC|}{\sin(180^\circ - (\alpha + 20^\circ))} = \frac{|AC|}{\sin(\alpha + 20^\circ)}$$

  Buradan, $$|DC| = |AC| \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\alpha + 20^\circ)}$$

  $\triangle BEC$ için Sinüs Teoremi:

  $m(\widehat{EBC}) = \alpha$ ve $m(\widehat{BCE}) = 15^\circ$ olduğundan, $m(\widehat{BEC}) = 180^\circ - (\alpha + 15^\circ)$.

  $$\frac{|EC|}{\sin(\alpha)} = \frac{|BC|}{\sin(180^\circ - (\alpha + 15^\circ))} = \frac{|BC|}{\sin(\alpha + 15^\circ)}$$

  Buradan, $$|EC| = |BC| \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\alpha + 15^\circ)}$$

• 3. $|DC|$ ve $|EC|$ uzunluklarını karşılaştıralım:

  Verilen bilgiye göre $|AC| = |BC|$ olduğundan, ifadeleri $|AC|$ cinsinden yazabiliriz:

  $$|DC| = |AC| \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\alpha + 20^\circ)}$$

  $$|EC| = |AC| \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\alpha + 15^\circ)}$$

  Bu iki ifadeyi karşılaştırmak için $\frac{1}{\sin(\alpha + 20^\circ)}$ ile $\frac{1}{\sin(\alpha + 15^\circ)}$ değerlerini karşılaştırmamız yeterlidir. Bu da $\sin(\alpha + 15^\circ)$ ile $\sin(\alpha + 20^\circ)$ değerlerini karşılaştırmaya denktir.

  $\alpha \in (0^\circ, 72.5^\circ)$ aralığında olduğu için:

  • $\alpha + 15^\circ \in (15^\circ, 72.5^\circ + 15^\circ) = (15^\circ, 87.5^\circ)$. Bu aralıktaki tüm açılar dar açıdır.
  • $\alpha + 20^\circ \in (20^\circ, 72.5^\circ + 20^\circ) = (20^\circ, 92.5^\circ)$. Bu aralıktaki açılar dar veya geniş açı olabilir.

  Her iki durumda da, $\alpha + 15^\circ < \alpha + 20^\circ$ olduğu açıktır.

  Durum 1: $\alpha + 20^\circ \le 90^\circ$ (yani $\alpha \le 70^\circ$)

  Bu durumda, hem $\alpha + 15^\circ$ hem de $\alpha + 20^\circ$ dar açıdır. Sinüs fonksiyonu $(0^\circ, 90^\circ]$ aralığında artan olduğu için:

  $$\sin(\alpha + 15^\circ) < \sin(\alpha + 20^\circ)$$

  Durum 2: $\alpha + 15^\circ \le 90^\circ < \alpha + 20^\circ$ (yani $70^\circ < \alpha \le 72.5^\circ$)

  Bu durumda, $\alpha + 15^\circ$ dar açı, $\alpha + 20^\circ$ ise geniş açıdır. Geniş açının sinüsünü dar açıya çevirelim: $\sin(\theta) = \sin(180^\circ - \theta)$.

  $$\sin(\alpha + 20^\circ) = \sin(180^\circ - (\alpha + 20^\circ)) = \sin(160^\circ - \alpha)$$

  Şimdi $\sin(\alpha + 15^\circ)$ ile $\sin(160^\circ - \alpha)$ değerlerini karşılaştırmalıyız.

  $\alpha \in (70^\circ, 72.5^\circ)$ aralığında olduğundan:

  • $\alpha + 15^\circ \in (85^\circ, 87.5^\circ)$
  • $160^\circ - \alpha \in (160^\circ - 72.5^\circ, 160^\circ - 70^\circ) = (87.5^\circ, 90^\circ)$

  Görüldüğü gibi, her iki açı da $(85^\circ, 90^\circ)$ aralığındadır ve bu aralıkta sinüs fonksiyonu artandır. Ayrıca, $\alpha + 15^\circ < 160^\circ - \alpha$ çünkü $2\alpha < 145^\circ \implies \alpha < 72.5^\circ$. Bu koşul bizim $\alpha$ aralığımızda geçerlidir.

  Dolayısıyla, $$\sin(\alpha + 15^\circ) < \sin(160^\circ - \alpha)$$

  Yani, $$\sin(\alpha + 15^\circ) < \sin(\alpha + 20^\circ)$$

• 4. Sonuç:

  Her iki durumda da $\sin(\alpha + 15^\circ) < \sin(\alpha + 20^\circ)$ olduğu kesinlikle doğrudur.

  Bu eşitsizlikten yola çıkarak:

  $$\frac{1}{\sin(\alpha + 20^\circ)} < \frac{1}{\sin(\alpha + 15^\circ)}$$

  Her iki tarafı pozitif olan $|AC| \sin(\alpha)$ ile çarparsak:

  $$|AC| \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\alpha + 20^\circ)} < |AC| \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\alpha + 15^\circ)}$$

  Bu da şu anlama gelir:

  $$|DC| < |EC|$$

Bu nedenle, D seçeneği kesinlikle doğrudur.

Cevap D seçeneğidir.