Soruda verilenlere göre, ABC bir çeşitkenar üçgendir ve AD yüksekliği BC kenarına diktir, ayrıca \(|AD| = 6\) cm'dir.

BC kenarına ait kenarortay uzunluğunu bulmak için, BC kenarının orta noktasına M diyelim. Bu durumda AM, BC kenarına ait kenarortaydır.

ABC üçgeni çeşitkenar olduğu için, yükseklik AD ile kenarortay AM aynı doğru parçası olamaz. Yani D noktası ile M noktası farklı noktalardır. Eğer D = M olsaydı, AD hem yükseklik hem de kenarortay olacağından ABC üçgeni ikizkenar (AB = AC) olurdu, bu da çeşitkenar olma koşuluna aykırıdır.

D ve M farklı noktalar olduğundan, \(|DM| > 0\) olmalıdır.

ADM üçgeni, D noktasında dik açılı bir üçgendir (çünkü \(AD \perp BC\)). Bu üçgende Pisagor teoremini uygulayabiliriz:

\(|AM|^2 = |AD|^2 + |DM|^2\)

Verilen \(|AD| = 6\) cm değerini yerine koyarsak:

\(|AM|^2 = 6^2 + |DM|^2\)

\(|AM|^2 = 36 + |DM|^2\)

\(|DM| > 0\) olduğundan, \(|DM|^2 > 0\) olur. Bu durumda:

\(|AM|^2 > 36\)

\(|AM| > \sqrt{36}\)

\(|AM| > 6\)

Kenarortay uzunluğu \(|AM|\) bir tam sayı olmalıdır ve 6'dan büyük olmalıdır. Bu koşulu sağlayan en küçük tam sayı değeri 7'dir.

Bu değerin (AM=7) çeşitkenar üçgen koşulunu sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim: Eğer \(|AM|=7\) ise, \(7^2 = 36 + |DM|^2 \Rightarrow 49 = 36 + |DM|^2 \Rightarrow |DM|^2 = 13 \Rightarrow |DM| = \sqrt{13}\). \(|DM|=\sqrt{13}\) sıfırdan farklı bir değerdir, dolayısıyla D ve M farklı noktalardır. Uygun bir B ve C noktası seçilerek (örneğin \(M=(0,0)\), \(D=(\sqrt{13},0)\), \(A=(\sqrt{13},6)\) ve \(B=(-x,0)\), \(C=(x,0)\) için uygun bir \(x\) değeri seçilerek) çeşitkenar bir üçgen oluşturulabilir. Örneğin \(x=1\) seçilirse, \(|BC|=2\), \(|AB|=\sqrt{50+2\sqrt{13}}\), \(|AC|=\sqrt{50-2\sqrt{13}}\) olur ve bu kenar uzunlukları birbirinden farklıdır.