9. Sınıf Üçgende Açı ve Kenar İlişkileri Test 3

🚀 CepOkul: Tüm Dersler Test Çöz
✅ AI Soru Çözücü ✅ Konu Testleri ✅ Bilgi Kartları ✅ Online Düello
ÜCRETSİZ İNDİR
Soru 4 / 12
Test Çözüm Ders Notu
Sorunun Çözümü
  • `|AH| = h` diyelim. `\triangle ABH` ve `\triangle ACH` dik üçgenlerinde Pisagor Teoremi'ni uygulayalım:
    • `h^2 + y^2 = 8^2 \Rightarrow h^2 = 64 - y^2`
    • `h^2 + 7^2 = x^2 \Rightarrow h^2 = x^2 - 49`
    Bu iki ifadeyi eşitleyerek `x^2 - 49 = 64 - y^2` denklemini elde ederiz, bu da `x^2 + y^2 = 113` demektir.
  • Verilen açı koşulu `m(\widehat{BAH}) < m(\widehat{HAC})`'yi kullanalım. Dik üçgenlerde tanjant değerleri:
    • `\tan(\widehat{BAH}) = \frac{y}{h}`
    • `\tan(\widehat{HAC}) = \frac{7}{h}`
    Açılar dar açı olduğundan ve tanjant fonksiyonu dar açılarda artan olduğundan, `\frac{y}{h} < \frac{7}{h}` eşitsizliği geçerlidir. `h > 0` olduğu için, bu eşitsizlikten `y < 7` sonucunu çıkarırız.
  • `x - y = k` diyelim, yani `x = k + y`. Bu ifadeyi `x^2 + y^2 = 113` denklemine yerine koyalım:
    • `(k + y)^2 + y^2 = 113`
    • `k^2 + 2ky + y^2 + y^2 = 113`
    • `2y^2 + 2ky + k^2 - 113 = 0`
    Bu, `y` değişkenine bağlı bir ikinci dereceden denklemdir. `y`'nin gerçek bir sayı olması için diskriminant `\Delta \ge 0` olmalıdır: `\Delta = (2k)^2 - 4(2)(k^2 - 113) = 4k^2 - 8k^2 + 904 = -4k^2 + 904`. `-4k^2 + 904 \ge 0 \Rightarrow 4k^2 \le 904 \Rightarrow k^2 \le 226`.
  • `y` bir uzunluk olduğu için `y > 0` olmalıdır. İkinci dereceden denklem formülünden `y = \frac{-2k \pm \sqrt{904 - 4k^2}}{4} = \frac{-k \pm \sqrt{226 - k^2}}{2}`. `y > 0` olması için `+` işaretini almalıyız: `y = \frac{-k + \sqrt{226 - k^2}}{2}`. `\frac{-k + \sqrt{226 - k^2}}{2} > 0 \Rightarrow -k + \sqrt{226 - k^2} > 0 \Rightarrow \sqrt{226 - k^2} > k`. Eğer `k \ge 0` ise her iki tarafın karesini alabiliriz: `226 - k^2 > k^2 \Rightarrow 226 > 2k^2 \Rightarrow k^2 < 113`. Bu durumda `-\sqrt{113} < k < \sqrt{113}` (yaklaşık `-10.63 < k < 10.63`).
  • `y < 7` koşulunu uygulayalım: `\frac{-k + \sqrt{226 - k^2}}{2} < 7 \Rightarrow -k + \sqrt{226 - k^2} < 14 \Rightarrow \sqrt{226 - k^2} < 14 + k`. `14 + k > 0` olmalıdır (aksi takdirde pozitif bir kök negatif bir sayıdan küçük olamaz), yani `k > -14`. Her iki tarafın karesini alalım: `226 - k^2 < (14 + k)^2 \Rightarrow 226 - k^2 < 196 + 28k + k^2`. `0 < 2k^2 + 28k - 30 \Rightarrow 0 < k^2 + 14k - 15`. Bu eşitsizliği çarpanlarına ayıralım: `(k + 15)(k - 1) > 0`. Bu eşitsizlik `k < -15` veya `k > 1` olduğunda sağlanır.
  • Tüm `k` koşullarını birleştirelim:
    • `k^2 < 113 \Rightarrow -10.63 < k < 10.63`
    • `k > -14`
    • `k < -15` veya `k > 1`
    Bu koşulları birleştirdiğimizde, `k` için geçerli aralık `1 < k < 10.63` olur.
  • `x - y` farkının en küçük tam sayı değeri sorulduğu için, `1 < k < 10.63` aralığındaki en küçük tam sayı `2`'dir.
  • Doğru Seçenek B'dır.
123456789101112
  • Cevaplanan
  • Aktif
  • Boş

📚 Bu Konuyla İlgili Diğer Testler