Çözüm:

• Çubuk K ve L noktalarından kırıldığında \(|AK|\), \(|KL|\) ve \(|LB|\) olmak üzere üç parça oluşur. Bu parçaların toplam uzunluğu 60 cm'dir.
• Bu üç parça ile KLM üçgeni oluşturulduğuna göre, üçgenin kenarları \(|KL|\), \(|KM|\) ve \(|ML|\) bu üç parçaya karşılık gelir. \(|KL|\) her iki durumda da ortak kenardır. Dolayısıyla \(|AK|\) ve \(|LB|\) uzunlukları \(|KM|\) ve \(|ML|\) uzunluklarıdır.
• Kenar uzunluklarını \(|KL| = y\), \(|KM| = x\) ve \(|ML| = z\) olarak belirleyelim.
• Toplam uzunluk: \(x + y + z = 60\).
• Verilen ilişki: \(2|KM| = 3|ML| \implies 2x = 3z\).
• \(x\) ve \(z\) tam sayı olduğundan, \(z\) çift olmalıdır. \(z = 2t\) dersek, \(x = 3t\) olur. (Burada \(t\) bir pozitif tam sayıdır.)
• Üçgenin kenarları \(y\), \(3t\) ve \(2t\) olur.
• Çevre denklemi: \(y + 3t + 2t = 60 \implies y + 5t = 60 \implies y = 60 - 5t\).
• Üçgen eşitsizliklerini uygulayalım:
  • \(y + 3t > 2t \implies y > -t\) (Her zaman doğru)
  • \(y + 2t > 3t \implies y > t\)
  • \(3t + 2t > y \implies 5t > y\)
• \(y > t\) eşitsizliğinde \(y = 60 - 5t\) yerine yazarsak:
  \(60 - 5t > t \implies 60 > 6t \implies 10 > t\).
• \(5t > y\) eşitsizliğinde \(y = 60 - 5t\) yerine yazarsak:
  \(5t > 60 - 5t \implies 10t > 60 \implies t > 6\).
• Bu durumda \(6 < t < 10\) eşitsizliği elde edilir. \(t\) bir tam sayı olduğu için alabileceği değerler 7, 8, 9'dur.
• \(|KL|\) uzunluğunun (yani \(y\)'nin) en küçük tam sayı değerini bulmak için \(y = 60 - 5t\) ifadesinde \(t\)'yi en büyük seçmeliyiz.
• \(t_{max} = 9\) için:
  \(y = 60 - 5(9) = 60 - 45 = 15\).
• Bu durumda kenar uzunlukları 15, \(3 \times 9 = 27\) ve \(2 \times 9 = 18\) olur. Bu değerler üçgen eşitsizliklerini sağlar (15+18>27, 15+27>18, 18+27>15) ve toplamları 60'tır.
• Doğru Seçenek C'dır.