Sorunun Çözümü
- Verilen bilgilere göre açıları ve kenarları tanımlayalım:
- $m(\widehat{EAC}) = m(\widehat{BCD}) = \alpha$ olsun.
- $|AD| = |AC|$ olduğundan, $\triangle ADC$ ikizkenar üçgendir. Bu nedenle $m(\widehat{ADC}) = m(\widehat{ACD})$. Bu açılara $\gamma$ diyelim. Yani $m(\widehat{ACD}) = \gamma$ ve $m(\widehat{ADC}) = \gamma$.
- $|AE| = |BE|$ olduğundan, $\triangle ABE$ ikizkenar üçgendir. Bu nedenle $m(\widehat{BAE}) = m(\widehat{B})$. Bu açılara $\delta$ diyelim. Yani $m(\widehat{B}) = \delta$ ve $m(\widehat{BAE}) = \delta$.
- $\triangle ABC$'nin iç açıları toplamı $180^\circ$'dir:
- $m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{BAE}) + m(\widehat{EAC}) = \delta + \alpha$.
- $m(\widehat{ABC}) = \delta$.
- $m(\widehat{ACB}) = m(\widehat{ACD}) + m(\widehat{BCD}) = \gamma + \alpha$.
- Bu açıların toplamı: $(\delta + \alpha) + \delta + (\gamma + \alpha) = 180^\circ \implies 2\delta + 2\alpha + \gamma = 180^\circ$.
- $m(\widehat{BDC}) = x$ ve $m(\widehat{ADC}) = \gamma$ açıları bütünler (doğrusal çift) olduğu için toplamları $180^\circ$'dir:
- $x + \gamma = 180^\circ \implies x = 180^\circ - \gamma$.
- $\triangle BDC$'nin iç açıları toplamı $180^\circ$'dir:
- $m(\widehat{B}) + m(\widehat{BCD}) + m(\widehat{BDC}) = 180^\circ$.
- $\delta + \alpha + x = 180^\circ$.
- $x = 180^\circ - \gamma$ ifadesini $\delta + \alpha + x = 180^\circ$ denkleminde yerine koyalım:
- $\delta + \alpha + (180^\circ - \gamma) = 180^\circ \implies \delta + \alpha - \gamma = 0 \implies \delta + \alpha = \gamma$.
- $\delta + \alpha = \gamma$ eşitliğini $2\delta + 2\alpha + \gamma = 180^\circ$ denkleminde yerine koyalım:
- $2(\delta + \alpha) + \gamma = 180^\circ \implies 2\gamma + \gamma = 180^\circ \implies 3\gamma = 180^\circ \implies \gamma = 60^\circ$.
- Son olarak, $x = 180^\circ - \gamma$ formülünü kullanarak $x$'i bulalım:
- $x = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
- Doğru Seçenek E'dır.