Sorunun Çözümü
- Ali başlangıç noktasından (A) 5 metre kuzeye giderek B noktasına ulaşır.
- B noktasında saat yönünde $126^\circ$ dönüp 5 metre daha ilerleyerek Berk'in bulunduğu C noktasına ulaşır.
- Bu durumda, $AB = 5 m$ ve $BC = 5 m$ olur. B noktasındaki iç açı $\angle ABC = 180^\circ - 126^\circ = 54^\circ$ olur.
- ABC üçgeni ikizkenar üçgen olduğundan, taban açıları $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 54^\circ) / 2 = 126^\circ / 2 = 63^\circ$ olur.
- A noktasından C noktasına olan uzaklık (AC) için kosinüs teoremini kullanalım: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC) \cos(\angle ABC)$.
- $AC^2 = 5^2 + 5^2 - 2(5)(5) \cos(54^\circ) = 50 - 50 \cos(54^\circ) = 50(1 - \cos(54^\circ))$.
- Trigonometrik özdeşlik $1 - \cos(2\theta) = 2 \sin^2(\theta)$ kullanılarak, $1 - \cos(54^\circ) = 2 \sin^2(27^\circ)$ yazılır.
- $AC^2 = 50(2 \sin^2(27^\circ)) = 100 \sin^2(27^\circ)$. Buradan $AC = 10 \sin(27^\circ)$ bulunur.
- Ali başlangıç noktasından (A) 10 metre kuzeye giderek D noktasına ulaşır. Yani $AD = 10 m$.
- Şimdi ADC üçgenini inceleyelim. Kenar uzunlukları $AD = 10 m$, $AC = 10 \sin(27^\circ)$ ve $\angle DAC = 63^\circ$ (kuzeyden saat yönünde C'ye olan açı).
- DC kenarını bulmak için kosinüs teoremini kullanalım: $DC^2 = AD^2 + AC^2 - 2(AD)(AC) \cos(\angle DAC)$.
- $DC^2 = 10^2 + (10 \sin(27^\circ))^2 - 2(10)(10 \sin(27^\circ)) \cos(63^\circ)$.
- $\cos(63^\circ) = \sin(90^\circ - 63^\circ) = \sin(27^\circ)$ olduğundan, $DC^2 = 100 + 100 \sin^2(27^\circ) - 200 \sin(27^\circ) \sin(27^\circ)$.
- $DC^2 = 100 + 100 \sin^2(27^\circ) - 200 \sin^2(27^\circ) = 100 - 100 \sin^2(27^\circ) = 100(1 - \sin^2(27^\circ))$.
- $DC^2 = 100 \cos^2(27^\circ)$. Buradan $DC = 10 \cos(27^\circ)$ bulunur.
- ADC üçgeninin kenarları $AD = 10$, $AC = 10 \sin(27^\circ)$, $DC = 10 \cos(27^\circ)$ şeklindedir.
- Pisagor teoremini kontrol edelim: $AC^2 + DC^2 = (10 \sin(27^\circ))^2 + (10 \cos(27^\circ))^2 = 100 \sin^2(27^\circ) + 100 \cos^2(27^\circ) = 100(\sin^2(27^\circ) + \cos^2(27^\circ)) = 100(1) = 100$.
- $AD^2 = 10^2 = 100$ olduğundan, $AD^2 = AC^2 + DC^2$ eşitliği sağlanır. Bu, ADC üçgeninin C noktasında dik açılı bir üçgen olduğunu gösterir ($\angle ACD = 90^\circ$).
- Ali D noktasında kuzeye bakmaktadır ve C noktasına ulaşmak için saat yönünde dönmelidir. Bu dönüş açısı $\angle ADC$'dir.
- Dik üçgen ADC'de $\tan(\angle ADC) = \frac{AC}{DC} = \frac{10 \sin(27^\circ)}{10 \cos(27^\circ)} = \tan(27^\circ)$.
- Dolayısıyla, $\angle ADC = 27^\circ$ bulunur.
- Bu açı, D noktasından güney yönü (DA vektörü) ile DC vektörü arasındaki açıdır. C noktası, D noktasının güneydoğusunda yer alır.
- Ali kuzeye bakarken, C noktasına yönelmek için saat yönünde dönmelidir. Kuzeyden güneye saat yönünde $180^\circ$ dönüş vardır. C noktası güneyden $27^\circ$ doğuya doğru olduğundan, kuzeyden saat yönündeki toplam dönüş açısı $180^\circ - 27^\circ = 153^\circ$ olur.
- Doğru Seçenek D'dır.