Sorunun Çözümü
- $m(\widehat{A'DC}) = \alpha$ olsun. Verilen bilgiye göre $m(\widehat{DCB}) = 2 \cdot m(\widehat{A'DC})$, yani $m(\widehat{DCB}) = 2\alpha$'dır.
- Kağıt [BD] boyunca katlandığında $\triangle ABD \cong \triangle A'BD$ olur. Bu durumda $m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{BA'D})$'dir.
- $\triangle A'DC$'de iç açılar toplamı $180^\circ$'dir: $m(\widehat{DA'C}) + m(\widehat{A'CD}) + m(\widehat{A'DC}) = 180^\circ$. Buradan $m(\widehat{DA'C}) + 2\alpha + \alpha = 180^\circ \implies m(\widehat{DA'C}) = 180^\circ - 3\alpha$.
- $B, A', C$ noktaları doğrusal olduğundan $m(\widehat{BA'D}) = 180^\circ - m(\widehat{DA'C})$'dir. Yani $m(\widehat{BA'D}) = 180^\circ - (180^\circ - 3\alpha) = 3\alpha$.
- Katlama özelliğinden $m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{BA'D}) = 3\alpha$'dır.
- $\triangle ABC$ bir dik üçgen olduğundan $m(\widehat{ABC}) = 90^\circ$'dir. İç açılar toplamı $180^\circ$'dir: $m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{BCA}) = 180^\circ$.
- Açı değerlerini yerine koyarsak: $3\alpha + 90^\circ + 2\alpha = 180^\circ \implies 5\alpha = 90^\circ \implies \alpha = 18^\circ$.
- $m(\widehat{ABD}) = \beta$ olsun. Katlama özelliğinden $m(\widehat{A'BD}) = \beta$'dır. $m(\widehat{DBC}) = m(\widehat{ABC}) - m(\widehat{ABD}) = 90^\circ - \beta$.
- Katlama özelliğinden $m(\widehat{ADB}) = m(\widehat{A'DB})$'dir. $\triangle ABD$'de $m(\widehat{ADB}) = 180^\circ - m(\widehat{BAD}) - m(\widehat{ABD}) = 180^\circ - 3\alpha - \beta$.
- $A'$ noktası $BC$ üzerinde olduğundan, $m(\widehat{BDC}) = m(\widehat{BDA'}) + m(\widehat{A'DC})$'dir. $m(\widehat{BDC}) = (180^\circ - 3\alpha - \beta) + \alpha = 180^\circ - 2\alpha - \beta$.
- $\triangle DBC$'de iç açılar toplamı $180^\circ$'dir: $m(\widehat{DBC}) + m(\widehat{DCB}) + m(\widehat{BDC}) = 180^\circ$.
- Açı değerlerini yerine koyarsak: $(90^\circ - \beta) + 2\alpha + (180^\circ - 2\alpha - \beta) = 180^\circ$.
- Denklemi basitleştirirsek: $90^\circ - \beta + 180^\circ - \beta = 180^\circ \implies 270^\circ - 2\beta = 180^\circ \implies 2\beta = 90^\circ \implies \beta = 45^\circ$.
- Şimdi istenen farkı hesaplayalım: $m(\widehat{DBC}) = 90^\circ - \beta = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
- $m(\widehat{A'DC}) = \alpha = 18^\circ$.
- Fark $m(\widehat{DBC}) - m(\widehat{A'DC}) = 45^\circ - 18^\circ = 27^\circ$.
- Doğru Seçenek B'dır.