Sorunun Çözümü
- $ABC$ eşkenar üçgen olduğundan $AB=BC=AC$ ve $m(\widehat{ABC}) = 60^\circ$.
- $[BE]$ açıortay olduğundan $m(\widehat{ABE}) = m(\widehat{EBC}) = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.
- $|BC|=|CD|$ ve $AC=BC$ olduğundan $AC=CD$.
- B, C, D doğrusal olduğundan $m(\widehat{ACD}) = 180^\circ - m(\widehat{ACB}) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
- $\triangle ACD$ ikizkenar üçgen ($AC=CD$) olduğundan $m(\widehat{CAD}) = m(\widehat{CDA}) = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$.
- $\triangle BDE$ üçgeninde $m(\widehat{BED}) = 90^\circ$ ve $m(\widehat{BDE}) = m(\widehat{CDA}) = 30^\circ$.
- Bu durumda $\triangle BDE$ bir $30-60-90$ üçgenidir. $m(\widehat{EBD}) = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
- $ED = k$ dersek, $BE = k\sqrt{3}$ ve $BD = 2k$ olur.
- $BC=CD$ olduğundan $BC = CD = k$.
- $ABC$ eşkenar üçgen olduğundan $AB=BC=AC=k$.
- $\triangle ABE$ üçgeninde $AB=k$, $BE=k\sqrt{3}$ ve $m(\widehat{ABE}) = 30^\circ$. Kosinüs Teoremi uygulayalım:
- $AE^2 = AB^2 + BE^2 - 2 \cdot AB \cdot BE \cdot \cos(m(\widehat{ABE}))$
- $AE^2 = k^2 + (k\sqrt{3})^2 - 2 \cdot k \cdot k\sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ)$
- $AE^2 = k^2 + 3k^2 - 2k^2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
- $AE^2 = 4k^2 - 3k^2 = k^2$, dolayısıyla $AE=k$.
- $\triangle ABE$ üçgeninde $AB=AE=k$ olduğundan, bu bir ikizkenar üçgendir.
- İkizkenar üçgende taban açıları eşit olduğundan $m(\widehat{AEB}) = m(\widehat{ABE}) = 30^\circ$.
- Yani $\alpha = 30^\circ$.
- Doğru Seçenek C'dır.