Sorunun Çözümü
- $\angle AOC$ açısı, $\angle AOB$ ve $\angle BOC$ açılarının toplamıdır: $m(\angle AOC) = m(\angle AOB) + m(\angle BOC) = 15^\circ + 45^\circ = 60^\circ$.
- $\triangle OAC$ üçgeninde dış açı teoremini uygulayalım. $\alpha$ açısı A noktasındaki dış açıdır. Bu durumda $\alpha = m(\angle AOC) + m(\angle OCA)$.
- $\theta$ açısı C noktasındaki dış açıdır. Bu durumda $\theta = m(\angle OAC) + m(\angle AOC)$.
- Verilen $\alpha + \theta = 140^\circ$ bilgisini kullanalım: $(m(\angle AOC) + m(\angle OCA)) + (m(\angle OAC) + m(\angle AOC)) = 140^\circ$.
- Denklemi düzenleyelim: $2 \cdot m(\angle AOC) + m(\angle OAC) + m(\angle OCA) = 140^\circ$.
- $2 \cdot 60^\circ + m(\angle OAC) + m(\angle OCA) = 140^\circ \implies 120^\circ + m(\angle OAC) + m(\angle OCA) = 140^\circ$.
- Buradan $m(\angle OAC) + m(\angle OCA) = 140^\circ - 120^\circ = 20^\circ$ bulunur.
- Şimdi $\triangle OBC$ üçgeninde dış açı teoremini uygulayalım. $\beta$ açısı B noktasındaki dış açıdır. Bu durumda $\beta = m(\angle BOC) + m(\angle OCB)$.
- $\triangle OAC$ üçgeninin iç açıları toplamı $180^\circ$'dir: $m(\angle OAC) + m(\angle OCA) + m(\angle AOC) = 180^\circ$.
- $m(\angle OAC) + m(\angle OCA) + 60^\circ = 180^\circ \implies m(\angle OAC) + m(\angle OCA) = 120^\circ$.
- Bu iki sonuç ($m(\angle OAC) + m(\angle OCA) = 20^\circ$ ve $m(\angle OAC) + m(\angle OCA) = 120^\circ$) birbiriyle çelişmektedir. Bu, $\alpha$ ve $\theta$ açılarının dış açı tanımının farklı yorumlanması gerektiğini gösterir.
- Bu tür sorularda, bir doğru üzerindeki açılar ve üçgenin dış açıları arasındaki ilişki genellikle şu şekilde kullanılır: Bir doğru boyunca ilerlerken, dışarıdaki açılar toplamı, içerideki açıların toplamına eşittir. Bu durumda, $m(\angle OAC) + m(\angle AOC) + m(\angle OCA) = 180^\circ$ ve $\alpha$, $\beta$, $\theta$ dış açılardır.
- Alternatif bir kural: Bir doğruyu kesen ışınlar ve bir noktadan çıkan ışınlar arasındaki açılar için, $m(\angle OAC) + m(\angle OCA) + m(\angle AOC) = 180^\circ$. $\alpha = m(\angle OAC) + m(\angle AOB) + m(\angle BOC)$ (Bu yanlış bir genellemedir).
- Doğru yaklaşım: $\triangle OAB$