Verilen bilgileri kullanarak adım adım ilerleyelim:

• 1. Üçgen ABE'yi inceleyelim:

$|AB| = |AE|$ verildiğinden, $\triangle ABE$ ikizkenar üçgendir. Bu durumda taban açıları eşittir: $m(\widehat{ABE}) = m(\widehat{AEB})$.

$m(\widehat{BAC}) = 48^\circ$ olduğundan, $\triangle ABE$'deki iç açılar toplamı $180^\circ$'dir:

$m(\widehat{ABE}) + m(\widehat{AEB}) + m(\widehat{BAE}) = 180^\circ$

$2 \cdot m(\widehat{ABE}) + 48^\circ = 180^\circ$

$2 \cdot m(\widehat{ABE}) = 132^\circ$

$m(\widehat{ABE}) = 66^\circ$. Dolayısıyla $m(\widehat{AEB}) = 66^\circ$.

• 2. Üçgen BDE'yi inceleyelim:

$|BD| = |DE|$ verildiğinden, $\triangle BDE$ ikizkenar üçgendir. Bu durumda taban açıları eşittir: $m(\widehat{DBE}) = m(\widehat{DEB})$. Bu açıya $\beta$ diyelim.

$m(\widehat{DBE}) = m(\widehat{DEB}) = \beta$.

$\triangle BDE$'nin $D$ köşesindeki dış açısı $m(\widehat{EDC})$'dir. Bir üçgende dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir:

$m(\widehat{EDC}) = m(\widehat{DBE}) + m(\widehat{DEB}) = \beta + \beta = 2\beta$.

• 3. Üçgen DEC'yi inceleyelim:

$DE \perp AC$ verildiğinden, $m(\widehat{DEC}) = 90^\circ$.

$\triangle DEC$ bir dik üçgendir. $m(\widehat{ACB}) = x$ olduğundan, iç açılar toplamı $180^\circ$'dir:

$m(\widehat{EDC}) + m(\widehat{DEC}) + m(\widehat{DCE}) = 180^\circ$

$m(\widehat{EDC}) + 90^\circ + x = 180^\circ$

$m(\widehat{EDC}) = 90^\circ - x$.

Önceki adımdan $m(\widehat{EDC}) = 2\beta$ olduğunu biliyoruz. Bu iki ifadeyi eşitleyelim:

$2\beta = 90^\circ - x$ (Denklem 1)

• 4. Üçgen ABC'deki açıları toplayalım:

$m(\widehat{ABC})$ açısı, $m(\widehat{ABE})$ ve $m(\widehat{EBD})$ açılarının toplamıdır:

$m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ABE}) + m(\widehat{EBD}) = 66^\circ + \beta$.

$\triangle ABC$'deki iç açılar toplamı $180^\circ$'dir:

$m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{ACB}) = 180^\circ$

$48^\circ + (66^\circ + \beta) + x = 180^\circ$

$114^\circ + \beta + x = 180^\circ$

$\beta + x = 66^\circ$ (Denklem 2)

• 5. Denklem sistemini çözelim:

İki denklemimiz var:

1) $2\beta = 90^\circ - x$

2) $\beta + x = 66^\circ$

Denklem 2'den $\beta$'yı çekelim: $\beta = 66^\circ - x$.

Bu ifadeyi Denklem 1'e yerine koyalım:

$2(66^\circ - x) = 90^\circ - x$

$132^\circ - 2x = 90^\circ - x$

$132^\circ - 90^\circ = 2x - x$

$42^\circ = x$

Cevap C seçeneğidir.