Soruyu çözmek için verilen bilgileri ve üçgenlerin temel özelliklerini adım adım kullanalım:

• Verilen Bilgiler:
  • $|DB| = |DE|$ olduğu için $\triangle BDE$ bir ikizkenar üçgendir.
  • $|FE| = |FC|$ olduğu için $\triangle FEC$ bir ikizkenar üçgendir.
  • $m(\widehat{BAC}) = 84^\circ$.
  • Aradığımız açı $m(\widehat{DEF}) = x$.
• Adım 1: İkizkenar Üçgenlerin Açılarını Belirleme
  • $\triangle BDE$ ikizkenar olduğundan, taban açıları eşittir: $m(\widehat{DBE}) = m(\widehat{DEB})$. Bu açılara $\alpha$ diyelim. Yani, $m(\widehat{B}) = \alpha$ ve $m(\widehat{DEB}) = \alpha$.
  • $\triangle FEC$ ikizkenar olduğundan, taban açıları eşittir: $m(\widehat{FCE}) = m(\widehat{FEC})$. Bu açılara $\beta$ diyelim. Yani, $m(\widehat{C}) = \beta$ ve $m(\widehat{FEC}) = \beta$.
• Adım 2: E Noktasındaki Doğru Açıyı Kullanma
  • $B$, $E$, $C$ noktaları doğrusal olduğundan, $E$ noktasındaki açılar toplamı $180^\circ$'dir.
  • $m(\widehat{DEB}) + m(\widehat{DEF}) + m(\widehat{FEC}) = 180^\circ$.
  • Yerine yazarsak: $\alpha + x + \beta = 180^\circ$.
  • Buradan $x = 180^\circ - (\alpha + \beta)$ denklemini elde ederiz.
• Adım 3: Büyük Üçgen ABC'nin Açılarını Kullanma
  • $\triangle ABC$'nin iç açıları toplamı $180^\circ$'dir.
  • $m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{ACB}) = 180^\circ$.
  • Verilenleri ve belirlediğimiz açıları yerine yazalım: $84^\circ + \alpha + \beta = 180^\circ$.
  • Bu denklemden $\alpha + \beta$ toplamını bulabiliriz: $\alpha + \beta = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$.
• Adım 4: x Değerini Hesaplama
  • Adım 2'de bulduğumuz $x = 180^\circ - (\alpha + \beta)$ denklemine, Adım 3'te bulduğumuz $\alpha + \beta = 96^\circ$ değerini yerleştirelim.
  • $x = 180^\circ - 96^\circ$.
  • $x = 84^\circ$.

Buna göre, $m(\widehat{DEF}) = x = 84^\circ$ bulunur.

Cevap E seçeneğidir.