Sorunun Çözümü
- $\triangle ABD$'de iç açılar toplamından $m(\widehat{DAB}) = 180^\circ - (m(\widehat{ADB}) + m(\widehat{ABD})) = 180^\circ - (49^\circ + 58^\circ) = 180^\circ - 107^\circ = 73^\circ$ bulunur.
- $\triangle BCD$'de iç açılar toplamından $m(\widehat{BCD}) = 180^\circ - (m(\widehat{BDC}) + m(\widehat{CBD})) = 180^\circ - (82^\circ + 64^\circ) = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ$ bulunur.
- $\triangle ADE$'de $m(\widehat{AED}) = 180^\circ - m(\widehat{DAE}) - m(\widehat{ADE}) = 180^\circ - x - 49^\circ = 131^\circ - x$.
- $m(\widehat{BCA})$ açısı, $\triangle BCE$'de $m(\widehat{BEC}) = m(\widehat{AED})$ (ters açılar) olduğundan $m(\widehat{BCA}) = 180^\circ - m(\widehat{CBD}) - m(\widehat{BEC}) = 180^\circ - 64^\circ - (131^\circ - x) = x - 15^\circ$ bulunur.
- $m(\widehat{DCA}) = m(\widehat{BCD}) - m(\widehat{BCA}) = 34^\circ - (x - 15^\circ) = 49^\circ - x$.
- $\triangle ABD$'de sinüs teoremi uygulanır: $\frac{AD}{\sin m(\widehat{ABD})} = \frac{BD}{\sin m(\widehat{DAB})} \implies AD = BD \frac{\sin 58^\circ}{\sin 73^\circ}$.
- $\triangle BCD$'de sinüs teoremi uygulanır: $\frac{CD}{\sin m(\widehat{CBD})} = \frac{BD}{\sin m(\widehat{BCD})} \implies CD = BD \frac{\sin 64^\circ}{\sin 34^\circ}$.
- $\triangle ACD$'de sinüs teoremi uygulanır: $\frac{AD}{\sin m(\widehat{DCA})} = \frac{CD}{\sin m(\widehat{CAD})} \implies \frac{AD}{\sin(49^\circ - x)} = \frac{CD}{\sin x}$.
- $AD$ ve $CD$ ifadeleri yerine yazılır ve $BD$ sadeleştirilir: $\frac{\sin 58^\circ}{\sin 73^\circ \sin(49^\circ - x)} = \frac{\sin 64^\circ}{\sin 34^\circ \sin x}$.
- Denklem düzenlenir: $\sin x \sin 58^\circ \sin 34^\circ = \sin(49^\circ - x) \sin 64^\circ \sin 73^\circ$.
- $x = 32^\circ$ değeri denklemde yerine konulduğunda eşitlik sağlanır: $\sin 32^\circ \sin 58^\circ \sin 34^\circ = \sin(49^\circ - 32^\circ) \sin 64^\circ \sin 73^\circ \implies \sin 32^\circ \cos 32^\circ \sin 34^\circ = \sin 17^\circ \cos 26^\circ \cos 17^\circ \implies \frac{1}{2}\sin 64^\circ \sin 34^\circ = \frac{1}{2}\sin 34^\circ \cos 26^\circ \implies \sin 64^\circ = \cos 26^\circ$. Bu ifade doğrudur.
- Doğru Seçenek C'dır.