Sorunun Çözümü
- Verilen $s(A) \cdot s(B) = 11$ ifadesinden, $s(A)$ ve $s(B)$ değerleri 1 ve 11 olmak zorundadır, çünkü 11 bir asal sayıdır.
- İki olası durum vardır: $(s(A), s(B)) = (1, 11)$ veya $(s(A), s(B)) = (11, 1)$.
- $A \subset K \subset B$ koşulu, $A$ kümesinin $K$'nın bir alt kümesi ve $K$'nın da $B$'nin bir alt kümesi olduğunu belirtir. Ayrıca $A \neq K$ ve $K \neq B$ olmalıdır. Bu durum $s(A) < s(K) < s(B)$ anlamına gelir.
- Bu nedenle $s(A) < s(B)$ olmalıdır. Bu koşulu sadece $(s(A), s(B)) = (1, 11)$ durumu sağlar. $(s(A), s(B)) = (11, 1)$ durumu ($11 < 1$ olamayacağından) geçersizdir.
- $A \subseteq K \subseteq B$ koşulunu sağlayan $K$ kümelerinin sayısı $2^{s(B) - s(A)}$ formülü ile bulunur.
- $s(A) = 1$ ve $s(B) = 11$ değerlerini yerine koyarsak, $2^{11 - 1} = 2^{10} = 1024$ farklı $K$ kümesi vardır.
- Ancak, soruda $A \neq K$ ve $B \neq K$ koşulları belirtilmiştir. Bu, $K=A$ ve $K=B$ durumlarının geçerli olmadığını gösterir.
- Bu nedenle, toplam $K$ kümesi sayısından ($1024$) bu iki durumu ($K=A$ ve $K=B$) çıkarmamız gerekir.
- Geçerli $K$ kümesi sayısı $1024 - 2 = 1022$'dir.
- Doğru Seçenek E'dır.