Verilen bilgilere göre, bir dikdörtgenin çevre uzunluğu 40 cm'dir ve kenar uzunlukları santimetre cinsinden birer doğal sayıdır.

• Dikdörtgenin kenar uzunlukları $a$ ve $b$ olsun.
• Çevre uzunluğu formülü: $2(a+b) = 40$ cm.
• Bu durumda, $a+b = 20$ cm olur.
• Kenar uzunlukları doğal sayı olduğu için $a \ge 1$ ve $b \ge 1$ olmalıdır.
• Dikdörtgenin alanı $A = a \cdot b$ formülü ile bulunur.

En Büyük Alan Değeri:

• Sabit bir çevre uzunluğuna sahip dikdörtgenin alanı, kenar uzunlukları birbirine en yakın olduğunda (yani kareye yaklaştığında) en büyük değerini alır.
• $a+b=20$ ve $a, b$ doğal sayı olduğundan, $a$ ve $b$'yi birbirine en yakın seçeriz: $a=10$ ve $b=10$.
• Bu durumda, en büyük alan $A_{max} = 10 \cdot 10 = 100$ cm$^2$ olur.

En Küçük Alan Değeri:

• Sabit bir çevre uzunluğuna sahip dikdörtgenin alanı, kenar uzunlukları birbirinden en uzak olduğunda en küçük değerini alır.
• $a+b=20$ ve $a, b$ doğal sayı olduğundan, bir kenarı mümkün olan en küçük doğal sayı olan 1 seçeriz.
• Eğer $a=1$ ise, $1+b=20 \Rightarrow b=19$ olur.
• Bu durumda, en küçük alan $A_{min} = 1 \cdot 19 = 19$ cm$^2$ olur.

Farkın Hesaplanması:

• Soruda, en büyük alan değerinin en küçük alan değerinden kaç santimetrekare fazla olduğu sorulmaktadır.
• Fark = $A_{max} - A_{min} = 100 - 19 = 81$ cm$^2$.

Cevap B seçeneğidir.