Sorunun Çözümü
- Verilen bilgilere göre, $MATH$ dört basamaklı, $MA$ ve $TH$ iki basamaklı doğal sayılardır.
- $M, A, T, H$ birbirinden farklı rakamlardır. $M \neq 0$ ve $T \neq 0$ olmalıdır.
- $MATH$ sayısını basamak değerlerine göre açarsak: $MATH = 1000M + 100A + 10T + H$.
- Bu ifadeyi $MA$ ve $TH$ cinsinden yazabiliriz: $MATH = 100 \times (10M + A) + (10T + H)$.
- Yani, $MATH = 100 \times MA + TH$.
- Bu eşitlik, $MATH \div MA$ bölme işleminde bölümün $100$ ve kalanın $TH$ olduğunu gösterir.
- Bölüm ile kalanın toplamının en küçük doğal sayı değerini bulmak için $100 + TH$ ifadesinin en küçük değerini bulmalıyız. Bu da $TH$ sayısının en küçük değerini bulmayı gerektirir.
- $TH$ iki basamaklı bir sayı olduğu için $T \neq 0$ olmalıdır. $M, A, T, H$ birbirinden farklı rakamlar olduğundan, $TH$ sayısının en küçük olması için $T=1$ ve $H=0$ seçilir. Bu durumda $TH = 10$ olur.
- Şimdi bu $T=1$ ve $H=0$ değerleri ile diğer koşulları kontrol edelim:
- $M, A, T, H$ birbirinden farklı olmalı. Yani $M, A$ rakamları $1$ ve $0$'dan farklı olmalı.
- $M \neq 0$ koşulu zaten sağlanıyor çünkü $M, A$ $0$'dan farklı seçilecek.
- $TH < MA$ koşulu sağlanmalı, yani $10 < MA$ olmalı.
- $M, A$ için $1$ ve $0$'dan farklı, en küçük rakamları seçmeliyiz. $M \neq 0$ olduğu için $M$ için en küçük rakam $2$ olabilir. $A$ için $M$'den farklı ve $0, 1$'den farklı en küçük rakam $3$ olabilir.
- Bu durumda $M=2$ ve $A=3$ seçersek, $MA = 23$ olur.
- Seçilen rakamlar: $M=2, A=3, T=1, H=0$. Bu rakamlar birbirinden farklıdır.
- $TH=10$ ve $MA=23$. Koşul $TH < MA$ ($10 < 23$) sağlanır.
- Buna göre, $TH$'nin alabileceği en küçük değer $10$'dur.
- Bölüm ile kalanın toplamı $= 100 + TH = 100 + 10 = 110$.
- Doğru Seçenek D'dır.