Sorunun Çözümü
- Karenin bir kenar uzunluğunu $s$ olarak kabul edelim.
- Şekil-II'deki yaylar, karenin köşelerine merkezlenmiş çeyrek çemberlerdir.
- Birinci çeyrek çemberin merkezi A noktası (karenin sol alt köşesi) olsun. Koordinatları $(0,0)$ olarak alalım. Yarıçapı $s$'dir.
- İkinci çeyrek çemberin merkezi F noktası (karenin sağ üst köşesi) olsun. Koordinatları $(s,s)$ olarak alalım. Yarıçapı $s$'dir.
- B noktası, bu iki çeyrek çemberin kesişim noktasıdır.
- Birinci çemberin denklemi: $x^2 + y^2 = s^2$
- İkinci çemberin denklemi: $(x-s)^2 + (y-s)^2 = s^2$
- Denklemleri eşitleyerek kesişim noktalarını bulalım: $x^2 + y^2 = (x-s)^2 + (y-s)^2$ $x^2 + y^2 = x^2 - 2sx + s^2 + y^2 - 2sy + s^2$ $0 = -2sx + s^2 - 2sy + s^2$ $0 = -2sx - 2sy + 2s^2$ $s = x + y$
- $y = s - x$ ifadesini birinci çember denklemine yerine koyalım: $x^2 + (s-x)^2 = s^2$ $x^2 + s^2 - 2sx + x^2 = s^2$ $2x^2 - 2sx = 0$ $2x(x-s) = 0$ Buradan $x=0$ veya $x=s$ bulunur.
- Eğer $x=0$ ise $y=s$. Kesişim noktası $(0,s)$ (karenin sol üst köşesi).
- Eğer $x=s$ ise $y=0$. Kesişim noktası $(s,0)$ (karenin sağ alt köşesi).
- Şekil-II'deki B noktası, bu kesişim noktalarından biridir. Örneğin, B noktasını $(0,s)$ olarak alalım (karenin sol üst köşesi).
- Üçgenin köşeleri çemberlerin merkezleri (A ve F) ve B noktasıdır. Yani, A$(0,0)$, F$(s,s)$ ve B$(0,s)$ noktalarıyla oluşan üçgeni inceleyeceğiz.
- Üçgenin kenar uzunluklarını hesaplayalım:
- $|AB| = \sqrt{(0-0)^2 + (s-0)^2} = \sqrt{0^2 + s^2} = s$
- $|FB| = \sqrt{(0-s)^2 + (s-s)^2} = \sqrt{(-s)^2 + 0^2} = s$
- $|AF| = \sqrt{(s-0)^2 + (s-0)^2} = \sqrt{s^2 + s^2} = \sqrt{2s^2} = s\sqrt{2}$
- Üçgenin kenar uzunlukları $s$, $s$ ve $s\sqrt{2}$'dir. İki kenar uzunluğu eşit olduğu için bu üçgen bir ikizkenar üçgendir.
- Doğru Seçenek A'dır.