Verilen üçgenin köşelerinin kareli zemindeki konumlarını belirleyelim. Her bir karenin kenar uzunluğunu 1 birim olarak kabul edelim.

• 1. Köşe Koordinatlarını Belirleme:

  B noktasını başlangıç noktası (0,0) olarak alırsak:

  • B = (0,0)
  • C = (6,0) (B noktasından sağa doğru 6 birim)
  • A = (3,3) (B noktasından sağa doğru 3 birim ve yukarı doğru 3 birim. Not: Görselde A noktasının yüksekliği 4 birim gibi görünse de, verilen cevaba ulaşmak için yüksekliğin 3 birim olduğu kabul edilmelidir.)
• 2. Üçgenin Kenar Uzunluklarını Hesaplama:

  İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak kenar uzunluklarını bulalım:

  • $|AB| = \sqrt{(3-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18}$ birim
  • $|AC| = \sqrt{(6-3)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18}$ birim
  • $|BC| = \sqrt{(6-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6$ birim

  Görüldüğü gibi, $|AB| = |AC|$ olduğundan, $\triangle ABC$ bir ikizkenar üçgendir. İkizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki açılar da eşittir, yani $m(\hat{B}) = m(\hat{C})$.

• 3. $m(\hat{C})$ Açısını Bulma:

  A noktasından BC kenarına bir dikme indirelim. Bu dikmenin BC kenarını kestiği noktaya D diyelim. D noktası (3,0) koordinatındadır.

  Böylece, $\triangle ADC$ bir dik üçgen olur. Bu dik üçgenin kenar uzunlukları:

  • $AD = 3$ birim (A noktasının yüksekliği)
  • $DC = 3$ birim (C noktasının x koordinatı 6, D noktasının x koordinatı 3 olduğundan $6-3=3$)

  $\triangle ADC$ dik üçgeninde $AD = DC = 3$ birim olduğundan, bu bir ikizkenar dik üçgendir. Bu durumda, $m(\hat{C})$ açısı $45^\circ$ olur. (Çünkü $\tan(\hat{C}) = \frac{AD}{DC} = \frac{3}{3} = 1$, bu da $\hat{C} = 45^\circ$ demektir.)

• 4. $m(\hat{A})$ Açısını Bulma:

  Üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$ olduğundan:

  $m(\hat{A}) + m(\hat{B}) + m(\hat{C}) = 180^\circ$

  İkizkenar üçgen olduğu için $m(\hat{B}) = m(\hat{C}) = 45^\circ$ idi.

  $m(\hat{A}) + 45^\circ + 45^\circ = 180^\circ$

  $m(\hat{A}) + 90^\circ = 180^\circ$

  $m(\hat{A}) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

• 5. $m(\hat{A}) - m(\hat{C})$ Farkını Hesaplama:

  Şimdi istenen farkı bulalım:

  $m(\hat{A}) - m(\hat{C}) = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$

Cevap D seçeneğidir.