Sorunun Çözümü
Çözüm adımları aşağıdaki gibidir:
- Bilardo masası $10$ birim genişliğinde ve $8$ birim yüksekliğindedir.
- A noktası $(2,2)$ koordinatındadır.
- Soruda topun "birimkarelerin köşegenlerinden gidecek şekilde ilerlediği" belirtilmiştir. Bu, topun her zaman $45^\circ$ açıyla hareket ettiği, yani eğiminin $1$ veya $-1$ olduğu anlamına gelir. Görseldeki A-B çizgisinin eğimi $(8-2)/(5-2) = 6/3 = 2$ olduğundan, bu çizgi sadece başlangıç noktası ve genel yönü (sağ-yukarı) belirtmekte olup, topun gerçek hareket kuralına uymamaktadır. Dolayısıyla, top A noktasından sağ-yukarı yönde eğimi $1$ olacak şekilde hareket edecektir.
- Topun izleyeceği yolu ve kenarlara değdiği noktaları (köşeleri) takip edelim:
- Başlangıç: A $(2,2)$. Yön: Sağ-yukarı (eğim $1$). Yol denklemi: $y-2 = 1(x-2) \Rightarrow y=x$.
- 1. Köşe ($V_1$): Top $x$ ve $y$ eksenlerinde eşit ilerler. $x=10$ veya $y=8$ kenarına çarpacaktır. $x=10$ için $y=10$ (masa dışında). $y=8$ için $x=8$. İlk çarptığı nokta $V_1 = (8,8)$ (üst kenar). Bu bir delik değildir. Yansıma kuralı gereği, yatay kenardan yansıdığında $y$ yönündeki hareket tersine döner, eğim $-1$ olur.
- 2. Köşe ($V_2$): $V_1=(8,8)$ noktasından eğim $-1$ ile hareket (sağ-aşağı). Yol denklemi: $y-8 = -1(x-8) \Rightarrow y=-x+16$. $x=10$ veya $y=0$ kenarına çarpacaktır. $x=10$ için $y=-10+16=6$. $y=0$ için $0=-x+16 \Rightarrow x=16$ (masa dışında). İkinci çarptığı nokta $V_2 = (10,6)$ (sağ kenar). Bu bir delik değildir. Dikey kenardan yansıdığında $x$ yönündeki hareket tersine döner, eğim $-1$ olur.
- 3. Köşe ($V_3$): $V_2=(10,6)$ noktasından eğim $-1$ ile hareket (sol-aşağı). Yol denklemi: $y-6 = -1(x-10) \Rightarrow y=-x+16$. $x=0$ veya $y=0$ kenarına çarpacaktır. $x=0$ için $y=16$ (masa dışında). $y=0$ için $0=-x+16 \Rightarrow x=16$ (masa dışında). Bu hesaplamada bir hata var. $x$ azalırken $y$ de azalır. $V_2=(10,6)$ noktasından eğim