Sorunun Çözümü
- Şekil 1'deki dikdörtgenin kısa kenarı $x$ birimdir. Uzun kenarına $y$ diyelim.
- Şekil 2'de dört eş dikdörtgen bir araya getirilerek ortada kare şeklinde bir boşluk oluşturulmuştur.
- Şekil 2'ye göre, oluşan büyük karenin bir kenarı dikdörtgenin uzun kenarı ile kısa kenarının toplamı, yani $y+x$'tir.
- Ortadaki boşluğun (içteki karenin) bir kenarı ise dikdörtgenin uzun kenarı ile kısa kenarının farkı, yani $y-x$'tir.
- Boşluğun alanı $(y-x)^2$ olarak verilir ve bu $(1 - 4x + 4x^2)$ birimkaredir.
- $(y-x)^2 = 4x^2 - 4x + 1$ ifadesi bir tam karedir: $(2x-1)^2$.
- Dolayısıyla, $(y-x)^2 = (2x-1)^2$ olur. Buradan $y-x = 2x-1$ veya $y-x = -(2x-1) = 1-2x$ çıkar.
- Eğer $y-x = 1-2x$ ise, $y = x + 1 - 2x = 1-x$ olur. Ancak $x > 1$ verildiği için $1-x$ negatif olur ki bu bir kenar uzunluğu olamaz. Ayrıca uzun kenarın kısa kenardan büyük olması gerekir ($y > x$), bu da $1-x > x \Rightarrow 1 > 2x \Rightarrow x < 1/2$ çelişkisini yaratır.
- Bu durumda $y-x = 2x-1$ olmalıdır. Buradan $y = x + 2x - 1 = 3x - 1$ bulunur.
- Dikdörtgenin uzun kenarı $y = 3x-1$ birimdir. $x > 1$ olduğu için $3x-1 > x$ koşulu sağlanır ($2x > 1 \Rightarrow x > 1/2$).
- Bir kartonun (dikdörtgenin) bir yüzünün alanı kısa kenar ile uzun kenarın çarpımıdır: $x \cdot y$.
- Alan $= x \cdot (3x-1) = 3x^2 - x$.
- Doğru Seçenek D'dır.