Soru Çözümü
- Verilen ifadeyi her bir parantezi genel bir formda yazarak basitleştirelim: $(1 - \frac{1}{n^2}) = \frac{n^2 - 1}{n^2}$.
- Bu ifadeyi iki kare farkı özdeşliğini kullanarak çarpanlarına ayıralım: $\frac{n^2 - 1}{n^2} = \frac{(n-1)(n+1)}{n^2}$.
- Şimdi her bir terimi bu formda yazalım:
- İlk terim: $(1 - \frac{1}{4}) = (1 - \frac{1}{2^2}) = \frac{(2-1)(2+1)}{2 \cdot 2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2}$
- İkinci terim: $(1 - \frac{1}{9}) = (1 - \frac{1}{3^2}) = \frac{(3-1)(3+1)}{3 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3}$
- Üçüncü terim: $(1 - \frac{1}{16}) = (1 - \frac{1}{4^2}) = \frac{(4-1)(4+1)}{4 \cdot 4} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 4}$
- Son terim: $(1 - \frac{1}{625}) = (1 - \frac{1}{25^2}) = \frac{(25-1)(25+1)}{25 \cdot 25} = \frac{24 \cdot 26}{25 \cdot 25}$
- Tüm bu terimleri çarptığımızda, bir teleskopik çarpım oluşur:
$\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 4} \dots \frac{24 \cdot 26}{25 \cdot 25}$ - Çarpımı iki ayrı gruba ayırarak sadeleştirmeyi kolaylaştıralım:
$(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \dots \frac{24}{25}) \cdot (\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \dots \frac{26}{25})$ - İlk gruptaki sadeleştirmelerden $\frac{1}{25}$ kalır. İkinci gruptaki sadeleştirmelerden $\frac{26}{2}$ kalır.
- Sonucu bulmak için kalanları çarpalım: $\frac{1}{25} \cdot \frac{26}{2} = \frac{26}{50}$.
- Kesri sadeleştirdiğimizde sonuç $\frac{13}{25}$ olur.
- Doğru Seçenek B'dır.