Verilen ifadeyi inceleyelim:

• \(\frac{A}{8} = (3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)\)

Bu tür çarpımlarda, iki kare farkı özdeşliğini \((x-y)(x+y) = x^2 - y^2\) kullanmak etkili bir yöntemdir. İfadeye \((3^2 - 1)\) çarpanını ekleyerek bu özdeşliği zincirleme olarak uygulayabiliriz.

Denklemin her iki tarafını \((3^2 - 1)\) ile çarpalım:

• \(\frac{A}{8} \cdot (3^2 - 1) = (3^2 - 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)\)

Şimdi \((3^2 - 1)\) değerini hesaplayalım:

• \(3^2 - 1 = 9 - 1 = 8\)

Bu değeri denklemde yerine koyalım:

• \(\frac{A}{8} \cdot 8 = (3^2 - 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)\)
• \(A = (3^2 - 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)\)

Şimdi sağ taraftaki çarpımı adım adım iki kare farkı özdeşliğini kullanarak basitleştirelim:

• İlk olarak \((3^2 - 1)(3^2 + 1)\) çarpımını yapalım:
• \((3^2 - 1)(3^2 + 1) = (3^2)^2 - 1^2 = 3^4 - 1\)

Denklemimiz şu hale gelir:

• \(A = (3^4 - 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)\)

Şimdi \((3^4 - 1)(3^4 + 1)\) çarpımını yapalım:

• \((3^4 - 1)(3^4 + 1) = (3^4)^2 - 1^2 = 3^8 - 1\)

Denklemimiz şu hale gelir:

• \(A = (3^8 - 1)(3^8 + 1)\)

Son olarak \((3^8 - 1)(3^8 + 1)\) çarpımını yapalım:

• \((3^8 - 1)(3^8 + 1) = (3^8)^2 - 1^2 = 3^{16} - 1\)

Böylece denklemin en sade hali şudur:

• \(A = 3^{16} - 1\)

Bizden \(3^{16}\) sayısının A cinsinden eşitini bulmamız isteniyor. Denklemi \(3^{16}\) için çözelim:

• \(3^{16} = A + 1\)

Cevap A seçeneğidir.