Bu soruyu çözmek için, öncelikle köklü ifadenin içindeki terimi basitleştirmemiz gerekiyor. Ardından, elde ettiğimiz ifadeyi diğer terimle çarpacağız.

• Adım 1: Köklü ifadeyi basitleştirme

Verilen ifade $ \sqrt{9-4\sqrt{5}} $ şeklindedir. Bu tür ifadeleri basitleştirmek için, kök içindeki ifadeyi bir tam kare olarak yazmaya çalışırız. Yani $ (a-b)^2 $ veya $ (a-\sqrt{b})^2 $ formuna getirmeliyiz.

$ 9-4\sqrt{5} $ ifadesini $ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $ formuna benzetelim.

Burada $ 2xy = 4\sqrt{5} $ olduğundan, $ xy = 2\sqrt{5} $ diyebiliriz.

Eğer $ x=2 $ ve $ y=\sqrt{5} $ alırsak:

• $ x^2 = 2^2 = 4 $
• $ y^2 = (\sqrt{5})^2 = 5 $
• $ x^2+y^2 = 4+5 = 9 $

Bu durumda, $ 9-4\sqrt{5} = (2-\sqrt{5})^2 $ olarak yazılabilir.

Şimdi köklü ifadeyi basitleştirelim:

$ \sqrt{9-4\sqrt{5}} = \sqrt{(2-\sqrt{5})^2} $

Karekök dışına çıkarırken mutlak değer kullanırız: $ \sqrt{A^2} = |A| $.

$ \sqrt{(2-\sqrt{5})^2} = |2-\sqrt{5}| $

$ \sqrt{5} $ yaklaşık olarak $ 2.236 $ olduğundan, $ 2-\sqrt{5} $ negatif bir sayıdır ($ 2-2.236 = -0.236 $).

Bu nedenle, $ |2-\sqrt{5}| = -(2-\sqrt{5}) = \sqrt{5}-2 $ olur.

• Adım 2: Çarpma işlemini gerçekleştirme

Şimdi orijinal çarpma işlemini yapabiliriz:

$ (2+\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{5}-2) $

Bu ifade, $ (a+b)(a-b) = a^2-b^2 $ özdeşliğine uymaktadır. Burada $ a=\sqrt{5} $ ve $ b=2 $.

$ (\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2) = (\sqrt{5})^2 - (2)^2 $

$ = 5 - 4 $

$ = 1 $

Çarpımın sonucu 1'dir.

Cevap C seçeneğidir.