Verilen bilgilere göre, ABC üç basamaklı bir doğal sayı, x ve y pozitif tam sayılardır.

• Denklemleri Birleştirme:

Bize verilen denklemler şunlardır:

\(ABC + 56 = x^2\)

\(ABC = y^2\)

İkinci denklemi birinci denklemde yerine koyarsak:

\(y^2 + 56 = x^2\)

• İki Kare Farkı Oluşturma:

Denklemi yeniden düzenleyerek iki kare farkı formuna getirelim:

\(x^2 - y^2 = 56\)

İki kare farkı özdeşliğini kullanarak çarpanlarına ayıralım:

\((x - y)(x + y) = 56\)

• Çarpanların Özelliklerini Belirleme:

x ve y pozitif tam sayılar olduğundan:

• \(x + y\) pozitif bir tam sayıdır.
• \(ABC = y^2\) ve \(ABC + 56 = x^2\) olduğundan, \(x^2 > y^2\) yani \(x > y\) olmalıdır. Bu durumda \(x - y\) de pozitif bir tam sayıdır.
• \((x + y) - (x - y) = 2y\) olduğundan, \(x + y\) ve \(x - y\) sayılarının her ikisi de ya çift ya da tek olmalıdır. Çarpımları 56 (çift sayı) olduğu için, her ikisi de çift sayı olmak zorundadır.
• 56'nın Çift Çarpan Çiftlerini Bulma:

56'nın çarpan çiftlerini ve bunların çiftlik durumlarını inceleyelim:

• (1, 56) → (Tek, Çift) - Geçersiz
• (2, 28) → (Çift, Çift) - Geçerli
• (4, 14) → (Çift, Çift) - Geçerli
• (7, 8) → (Tek, Çift) - Geçersiz

Bu durumda iki olası çarpan çifti vardır:

1. \(x - y = 2\) ve \(x + y = 28\)
2. \(x - y = 4\) ve \(x + y = 14\)
• x ve y Değerlerini Hesaplama ve ABC'yi Bulma:
1. Birinci Durum: \(x - y = 2\) ve \(x + y = 28\)

Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak:

\((x - y) + (x + y) = 2 + 28\)

\(2x = 30 \implies x = 15\)

\(x = 15\) değerini \(x + y = 28\) denkleminde yerine koyarsak:

\(15 + y = 28 \implies y = 13\)

Bu durumda \(ABC = y^2 = 13^2 = 169\). Bu sayı üç basamaklıdır (100 ≤ 169 ≤ 999), bu nedenle bu durum geçerlidir.

2. İkinci Durum: \(x - y = 4\) ve \(x + y = 14\)

Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak:

\((x - y) + (x + y) = 4 + 14\)

\(2x = 18 \implies x = 9\)

\(x = 9\) değerini \(x + y = 14\) denkleminde yerine koyarsak:

\(9 + y = 14 \implies y = 5\)

Bu durumda \(ABC = y^2 = 5^2 = 25\). Bu sayı iki basamaklıdır, ancak soruda ABC'nin üç basamaklı olduğu belirtilmiştir. Bu nedenle bu durum geçersizdir.

• A + B + C Toplamını Bulma:

Geçerli olan tek durum \(ABC = 169\) sayısıdır.

Buradan A = 1, B = 6, C = 9 değerlerini alırız.

İstenen toplam: \(A + B + C = 1 + 6 + 9 = 16\).

Cevap D seçeneğidir.