Verilen ABCD karesinin alanı $18 + \sqrt{180}$ birimkaredir. Karenin bir kenar uzunluğunu 'a' ile gösterelim.

• 1. Alanı basitleştirme:

Karenin alanı $a^2$ olduğundan,

$$a^2 = 18 + \sqrt{180}$$

Öncelikle $\sqrt{180}$ ifadesini basitleştirelim:

$$\sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = \sqrt{36} \times \sqrt{5} = 6\sqrt{5}$$

Böylece alan ifadesi şu şekilde olur:

$$a^2 = 18 + 6\sqrt{5}$$

• 2. Kenar uzunluğunu bulma:

$18 + 6\sqrt{5}$ ifadesini bir tam kare olarak yazmaya çalışalım. $(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = x + y + 2\sqrt{xy}$ formülünü kullanabiliriz.

Burada $x+y = 18$ ve $2\sqrt{xy} = 6\sqrt{5}$ olmalıdır.

$2\sqrt{xy} = 6\sqrt{5} \implies \sqrt{xy} = 3\sqrt{5} \implies \sqrt{xy} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{45}$.

Yani $xy = 45$.

Toplamları 18 ve çarpımları 45 olan iki sayı 3 ve 15'tir ($3+15=18$, $3 \times 15=45$).

O halde,

$$18 + 6\sqrt{5} = (\sqrt{3} + \sqrt{15})^2$$

Bu durumda karenin bir kenar uzunluğu 'a' şöyledir:

$$a = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{15})^2} = \sqrt{3} + \sqrt{15}$$

• 3. Karenin çevresini hesaplama:

Karenin çevresi $4a$ formülüyle bulunur.

Çevre $= 4 \times (\sqrt{3} + \sqrt{15})$

Çevre $= 4\sqrt{3} + 4\sqrt{15}$

• 4. Seçeneklerle karşılaştırma:

Şimdi bulduğumuz sonucu seçeneklerle karşılaştıralım. D seçeneği $4\sqrt{3}(1 + \sqrt{5})$ şeklindedir.

D seçeneğini açarsak:

$$4\sqrt{3}(1 + \sqrt{5}) = 4\sqrt{3} \times 1 + 4\sqrt{3} \times \sqrt{5} = 4\sqrt{3} + 4\sqrt{15}$$

Bu, bulduğumuz çevre değeri ile aynıdır.

Cevap D seçeneğidir.