Verilen problemi adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• 1. Başlangıç Alanı: Başlangıçtaki karenin bir kenarı \(a\) birimdir. Bu karenin alanı \(A_{başlangıç} = a^2\) olur.
• 2. Katlama İşlemleri ve Katman Sayısı:
  • Şekil 1: Kare, köşegen boyunca katlanarak bir dik üçgen elde edilir. Bu katlama sonucunda kağıt 2 katmana sahip olur.
  • Şekil 2: Elde edilen dik üçgen, dik açının olduğu köşeden hipotenüse indirilen yükseklik boyunca tekrar katlanır. Bu katlama sonucunda, kesim yapılacak olan köşede (orijinal karenin merkezi olan noktada) kağıt \(2 \times 2 = 4\) katmana sahip olur.
• 3. Kesilen Alan: Şekil 3'te gösterildiği gibi, katlanmış kağıdın köşesinden dik kenarları \(b\) birim olan küçük bir dik üçgen kesilip çıkarılır.
  • Bir adet kesilen küçük dik üçgenin alanı \(A_{kesilen\_tek} = \frac{b \times b}{2} = \frac{b^2}{2}\) olur.
  • Kesim yapılan noktada 4 katman olduğu için, toplamda çıkarılan alan \(A_{toplam\_kesilen} = 4 \times \frac{b^2}{2} = 2b^2\) olur.
• 4. Kalan Parçanın Alanı: Kalan parçanın alanı, başlangıçtaki karenin alanından çıkarılan toplam alanı çıkararak bulunur:
  • \(A_{kalan} = A_{başlangıç} - A_{toplam\_kesilen} = a^2 - 2b^2\).
• 5. Çarpanlara Ayırma: Kalan parçanın alanını veren cebirsel ifadeyi çarpanlarına ayıralım. Bu ifade bir iki kare farkıdır:
  • \(a^2 - 2b^2 = a^2 - (\sqrt{2}b)^2\)
  • \(= (a - \sqrt{2}b)(a + \sqrt{2}b)\)
• 6. Şıklardan Doğru Çarpanı Bulma: Elde ettiğimiz çarpanlardan biri \(a - \sqrt{2}b\) veya \(a + \sqrt{2}b\)'dir. Şıklara baktığımızda, C seçeneğinde \(a - \sqrt{2}b\) ifadesi bulunmaktadır.

Cevap C seçeneğidir.