Verilen problemde, Faruk'un bir ifadeyi çarpanlara ayırma yöntemi gösterilmiştir. Bu yöntem, ifadeyi bir tam kareye tamamlayıp ardından iki kare farkı özdeşliğini kullanmaktır.

• Adım 1: Faruk'un yöntemini anlama

Faruk, \(x^2 + 4x + 3\) ifadesini çarpanlara ayırmak için önce 1 ekleyip 1 çıkarmıştır:

\(x^2 + 4x + 3 + 1 - 1 = x^2 + 4x + 4 - 1\)

Bu ifadeyi \((x+2)^2 - 1^2\) şeklinde yazarak iki kare farkı özdeşliğini kullanmıştır:

\((x+2-1)(x+2+1) = (x+1)(x+3)\)

• Adım 2: \(4x^2 + 20x + 21\) ifadesini aynı yöntemle çarpanlara ayırma

İfadeyi bir tam kareye tamamlamak için \((ax+b)^2\) formunu düşünelim. Burada \(a^2x^2 = 4x^2\) olduğundan \(a=2\)'dir. İfade \((2x+b)^2 = 4x^2 + 4bx + b^2\) şeklinde olacaktır.

\(4x^2 + 20x\) terimlerini \((2x+b)^2\) ile karşılaştırdığımızda, \(4bx = 20x \Rightarrow 4b = 20 \Rightarrow b = 5\)'tir.

Yani, tam kare ifade \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25\)'tir.

Verilen ifade \(4x^2 + 20x + 21\) olduğundan, 25'e ulaşmak için 4 ekleyip 4 çıkarmalıyız:

\(4x^2 + 20x + 21 = 4x^2 + 20x + 21 + 4 - 4\)

\(= (4x^2 + 20x + 25) - 4\)

\(= (2x+5)^2 - 2^2\)

• Adım 3: İki kare farkı özdeşliğini uygulama

\((2x+5)^2 - 2^2 = ((2x+5) - 2)((2x+5) + 2)\)

\(= (2x+3)(2x+7)\)

Buna göre, çarpanlar \((2x+3)\) ve \((2x+7)\)'dir.

• Adım 4: Çarpanların toplamını bulma

Çarpanların toplamı: \((2x+3) + (2x+7)\)

\(= 2x + 3 + 2x + 7\)

\(= 4x + 10\)

Cevap E seçeneğidir.