Sorunun Çözümü
- Dikdörtgenin alanına $n$ birimkare diyelim.
- 16 birimkare eklenince kare oluyorsa, $n + 16 = k^2$ (bir $k$ tam sayısı için)
- 12 birimkare çıkarılınca kare oluyorsa, $n - 12 = m^2$ (bir $m$ tam sayısı için)
- Bu iki denklemi birbirinden çıkaralım: $(n + 16) - (n - 12) = k^2 - m^2$
- Denklem $28 = k^2 - m^2$ haline gelir.
- Fark iki kare farkı olarak yazılır: $28 = (k - m)(k + m)$.
- $k$ ve $m$ pozitif tam sayılar ve $k > m$ olmalıdır. $k-m$ ve $k+m$ çarpanları $28$'in çarpanlarıdır.
- Olası çarpan çiftleri $(k-m, k+m)$ için $(2, 14)$ çiftini inceleyelim (diğer çiftler tam sayı $k, m$ vermez).
- $k - m = 2$ ve $k + m = 14$ denklemlerini çözelim.
- Denklemleri toplarsak $2k = 16 \Rightarrow k = 8$ elde ederiz.
- Denklemleri çıkarırsak $2m = 12 \Rightarrow m = 6$ elde ederiz.
- $k=8$ değerini $n + 16 = k^2$ denklemine koyarsak $n + 16 = 8^2 = 64 \Rightarrow n = 48$ birimkare buluruz.
- Dikdörtgenin alanı $48$ birimkare olduğuna göre, kenar uzunlukları $x$ ve $y$ için $x \cdot y = 48$ olmalıdır.
- Olası $(x, y)$ kenar çiftleri ve çevreleri ($2(x+y)$):
- $(1, 48) \Rightarrow$ Çevre $= 2(1 + 48) = 98$ birim
- $(2, 24) \Rightarrow$ Çevre $= 2(2 + 24) = 52$ birim
- $(3, 16) \Rightarrow$ Çevre $= 2(3 + 16) = 38$ birim
- $(4, 12) \Rightarrow$ Çevre $= 2(4 + 12) = 32$ birim
- $(6, 8) \Rightarrow$ Çevre $= 2(6 + 8) = 28$ birim
- Seçenekler arasında $28$ birim bulunmaktadır.
- Doğru Seçenek A'dır.