Sorunun Çözümü
- p: "$x$ bir çift sayıdır." ve q: "$y$ bir çift sayıdır." önermeleri verilmiştir.
- I. önerme: "$x + y$ toplamı bir çift sayıya eşittir." önermesi $p \iff q$ önermesine denktir.
- $x+y$ toplamının çift olması için $x$ ve $y$'nin aynı paritede (ikisi de çift veya ikisi de tek) olması gerekir.
- $p \iff q$ önermesi, $p$ ve $q$'nun doğruluk değerlerinin aynı olması durumunda doğrudur.
- Bu iki durum birbiriyle tam olarak örtüştüğü için I. ifade doğrudur.
- II. önerme: "$x \cdot y$ çarpımı bir çift sayıya eşittir." önermesi $p \lor q$ önermesine denktir.
- $x \cdot y$ çarpımının çift olması için en az bir çarpanın çift olması gerekir ($x$ çift veya $y$ çift veya ikisi de çift).
- $p \lor q$ önermesi, $p$ veya $q$'dan en az birinin doğru olması durumunda doğrudur.
- Bu iki durum birbiriyle tam olarak örtüştüğü için II. ifade doğrudur.
- III. önerme: "$x^2 - y^2$ farkı bir çift sayıya eşittir." önermesi $p \land q$ önermesine denktir.
- $x^2 - y^2$ farkının çift olması için $x^2$ ve $y^2$'nin aynı paritede olması gerekir. Bu da $x$ ve $y$'nin aynı paritede olması demektir.
- $p \land q$ önermesi ise sadece $p$ ve $q$'nun ikisi de doğru olduğunda (yani $x$ çift ve $y$ çift) doğrudur.
- Eğer $x$ tek ve $y$ tek ise, $x^2 - y^2$ çifttir ancak $p \land q$ yanlıştır. Bu durumlar örtüşmez.
- Dolayısıyla III. ifade yanlıştır.
- Doğru Seçenek B'dır.