Sorunun Çözümü
- Öncelikle verilen önermelerin çözüm kümelerini bulalım:
- $p: x < 1 \implies x \in (-\infty, 1)$
- $q: x^2 < 1 \implies -1 < x < 1 \implies x \in (-1, 1)$
- $r: x^2 < x \implies x^2 - x < 0 \implies x(x-1) < 0 \implies 0 < x < 1 \implies x \in (0, 1)$
- Bir $A \implies B$ önermesinin daima doğru olması için $A$'nın çözüm kümesinin $B$'nin çözüm kümesinin bir alt kümesi olması gerekir.
- I. $p \implies q$: $(-\infty, 1) \not\subseteq (-1, 1)$. Örneğin $x = -2$ için $p$ doğru, $q$ yanlış. Bu önerme daima doğru değildir.
- II. $q \implies p$: $(-1, 1) \subseteq (-\infty, 1)$. Bu önerme daima doğrudur.
- III. $p \implies r$: $(-\infty, 1) \not\subseteq (0, 1)$. Örneğin $x = -2$ için $p$ doğru, $r$ yanlış. Bu önerme daima doğru değildir.
- IV. $r \implies p$: $(0, 1) \subseteq (-\infty, 1)$. Bu önerme daima doğrudur.
- V. $q \implies r$: $(-1, 1) \not\subseteq (0, 1)$. Örneğin $x = -0.5$ için $q$ doğru, $r$ yanlış. Bu önerme daima doğru değildir.
- VI. $r \implies q$: $(0, 1) \subseteq (-1, 1)$. Bu önerme daima doğrudur.
- Daima doğru olan önermeler II, IV ve VI'dır.
- Doğru Seçenek D'dır.