Sorunun Çözümü
- p önermesi: $(a, b \in R \land a < b) \Rightarrow (2^a < 2^b)$. Taban $2 > 1$ olduğundan, üstel fonksiyon $f(x) = 2^x$ artandır. Bu nedenle $a < b$ ise $2^a < 2^b$ doğrudur. Yani p doğrudur.
- q önermesi: $(a \in Z^- \land b \in Z^+) \Rightarrow 2^{a-b} < 1$. $a$ negatif, $b$ pozitif tam sayı olduğundan $a \le -1$ ve $b \ge 1$. Bu durumda $a-b$ her zaman negatif bir tam sayıdır ($a-b < 0$). Taban $2 > 1$ ve üs negatif olduğunda ($2^{negatif}$) sonuç $0$ ile $1$ arasında olur. Örneğin, $2^{-1} = 1/2 < 1$. Bu nedenle $2^{a-b} < 1$ doğrudur. Yani q doğrudur.
- r önermesi: $(a, b \in Z^+ \land 2 \le a < b) \Rightarrow \sqrt[a]{2} > \sqrt[b]{2}$. İfadeyi üslü biçimde yazarsak $2^{1/a} > 2^{1/b}$ olur. Taban $2 > 1$ olduğundan, bu eşitsizliğin doğru olması için üslerin $1/a > 1/b$ ilişkisini sağlaması gerekir. $a$ ve $b$ pozitif tam sayılar ve $a < b$ olduğundan, terslerini aldığımızda eşitsizlik yön değiştirir: $1/a > 1/b$. Bu nedenle $2^{1/a} > 2^{1/b}$ doğrudur. Yani r doğrudur.
- p, q ve r önermelerinin hepsi doğrudur.
- Doğru Seçenek E'dır.