Sorunun Çözümü
- Verilen ifadeyi tam kareye tamamlamak için gruplandıralım:
\( (a^2 + 8a) + (b^2 - 6b) + 48 \) - 'a' terimlerini tam kare yapalım:
\( a^2 + 8a = (a^2 + 8a + 16) - 16 = (a+4)^2 - 16 \) - 'b' terimlerini tam kare yapalım:
\( b^2 - 6b = (b^2 - 6b + 9) - 9 = (b-3)^2 - 9 \) - Bu ifadeleri orijinal denklemde yerine koyalım:
\( (a+4)^2 - 16 + (b-3)^2 - 9 + 48 \) - Sabit terimleri birleştirelim:
\( (a+4)^2 + (b-3)^2 - 16 - 9 + 48 \)
\( (a+4)^2 + (b-3)^2 - 25 + 48 \)
\( (a+4)^2 + (b-3)^2 + 23 \) - Bir ifadenin en küçük değeri, tam kare terimlerin sıfır olduğu zaman elde edilir, çünkü kareler negatif olamaz.
Yani, \( (a+4)^2 = 0 \) olduğunda \( a = -4 \) ve \( (b-3)^2 = 0 \) olduğunda \( b = 3 \) olur. - Bu durumda ifadenin en küçük değeri:
\( 0 + 0 + 23 = 23 \) - Doğru Seçenek B'dır.