Sorunun Çözümü
- I. İki rasyonel sayının toplamı daima rasyoneldir.
Rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır. Örneğin, $1/2$ (rasyonel) ile $1/3$ (rasyonel) sayılarının toplamı $5/6$ (rasyonel) olur. Bu ifade doğrudur. - II. İki irrasyonel sayının toplamı daima irrasyoneldir.
Bu ifade yanlıştır. Örneğin, $\sqrt{2}$ bir irrasyonel sayıdır ve $-\sqrt{2}$ de bir irrasyonel sayıdır. Ancak toplamları $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ olup, $0$ bir rasyonel sayıdır. - III. Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının toplamı daima irrasyoneldir.
Bir rasyonel sayı ($q$) ile bir irrasyonel sayı ($i$) toplandığında sonuç daima irrasyoneldir. Eğer $q+i$ rasyonel olsaydı, $i = (q+i) - q$ ifadesi iki rasyonel sayının farkı olacağından rasyonel olurdu, bu da $i$'nin irrasyonel olduğu varsayımıyla çelişirdi. Bu ifade doğrudur. - Yukarıdaki analizlere göre, I ve III numaralı ifadeler doğrudur.
- Doğru Seçenek C'dır.