Sorunun Çözümü
- Önerme I: $ \exists x \in \mathbb{R} \text{ için } x^2 + 3 < \frac{1}{3} $
- Eşitsizliği düzenleyelim: $ x^2 < \frac{1}{3} - 3 \Rightarrow x^2 < -\frac{8}{3} $.
- Bir gerçek sayının karesi ($x^2$) negatif olamaz ($x^2 \ge 0$).
- Bu eşitsizliği sağlayan hiçbir gerçek $x$ değeri yoktur.
- Bu önerme Yanlış (Y)'dır.
- Önerme II: $ \forall x \in \mathbb{Z} \text{ için } \exists y \in \mathbb{Z} \text{ öyle ki } x \cdot y = 0 $
- Her $x$ tam sayısı için $y=0$ seçilirse, $x \cdot 0 = 0$ eşitliği sağlanır.
- Örneğin, $x=5$ için $y=0$ seçersek $5 \cdot 0 = 0$. $x=0$ için $y=0$ seçersek $0 \cdot 0 = 0$.
- Bu önerme Doğru (D)'dur.
- Önerme III: $ \forall x \in \mathbb{R} \text{ için } \frac{x-5}{5-x} = -1 $
- İfadeyi sadeleştirelim: $ \frac{x-5}{5-x} = \frac{x-5}{-(x-5)} $.
- Bu ifade, $x \ne 5$ olmak koşuluyla $-1$'e eşittir.
- Ancak, önerme "her $x \in \mathbb{R}$ için" dediği için $x=5$ durumunu da kapsamalıdır.
- $x=5$ için ifade $ \frac{0}{0} $ olur ki bu tanımsızdır, $-1$ değildir.
- Bu önerme Yanlış (Y)'dır.
- Önermelerin doğruluk değerleri sırasıyla Y, D, Y'dir.
- Doğru Seçenek B'dır.